La probabilidad neutra de riesgo en la opción binomial lattice viene mayor que 1...¿qué pasa?

Question

Estoy sustituyendo valores razonables en la siguiente fórmula (como r=0,12, T=20, nColumna=16, sigma=0,004)... ¿por qué la probabilidad sale mayor que 1? ¿Alguna ayuda? Gracias.

del_T=T./nColumn; % where n is the number of columns in binomial lattice
u=exp(sigma.*sqrt(del_T));
d=1./u;
p=(exp(r.*del_T)-d)./(u-d); % risk neutral probability

Answer 1

Sí, he encontrado esta fórmula. Así que sólo tienes que poner $$ \Delta t < \frac{\log{u}}{r}. $$

Editado: Para evitar el arbitraje hay que tener $0<d<1+r<u$ - (Shreve, Stochastic Calculus for Finance I), o en su caso $0<d(\Delta t)<\mathrm{e}^{r\Delta t}<u(\Delta t)$ . Sólo bajo esta condición su fórmula $$ p = \frac{\mathrm{e}^{r\Delta t}-d}{u-d} $$ es válido y la probabilidad será menor que $1$ y mayor que $0$ - de hecho te dije lo mismo desde el principio. Utilizando la fórmula de $u(\Delta t)$ tenemos que para un paso de tiempo $$ \Delta t < \frac{\sigma^2}{r^2}. $$

Es extraño que estas condiciones no se presenten en la wikipedia. Además abusan de la notación para $u(\Delta t)$ y $d(\Delta t)$ usando allí $t$ en lugar de $\Delta t$ .

Answer 2

Simple: disminuir el paso de tiempo. El árbol binomial es sólo una aproximación, y realmente no se puede llamar $p$ una auténtica probabilidad.

Sus parámetros también están bastante lejos de ser "típicos". Yo elegiría:

$r = 0.05$ (todavía más alto que el actual tipo sin riesgo)

$\sigma = 0.2$ (valor de volatilidad más típico)