Función de utilidad complicada

Question

Estoy tratando de responder a esta pregunta de papel pasado sobre microeconomía y una pregunta de función de utilidad bastante complicada. La pregunta está abajo, así como mi respuesta.

En mi respuesta, utilizo el hecho de que la tasa marginal de sustitución técnica (TMS) es igual a su relación de precios. Creo que deduzco ambas funciones de demanda para la pizza y la manzana. No estoy seguro de que sean correctas y no sé cómo responder:

¿Cómo responde James a un aumento del precio de la pizza?

Si nos fijamos en el precio de la pizza (p1) en las funciones de demanda, un aumento de p1 supondría una disminución de la demanda de manzanas.

Me parece que he hecho algo mal y que tendría que considerar los efectos de sustitución y/o de renta? Estoy terriblemente confundido.

Answer 1

Las funciones de demanda que ha derivado son correctas.

Las demandas de Marshall son las siguientes

$$ x^\star(p_x,p_y,M) = \sqrt{\frac{M}{p_y}} \\[8pt] y^\star(p_x,p_y,M) = \frac{M - p_x \sqrt{\frac{M}{p_y}}}{p_y},$$

donde $M$ es el ingreso y $p_x$ es el precio de la pizza y $p_y$ es el precio de la manzana.

Para responder a la pregunta de cómo responde el agente al cambio en el precio de la pizza sería estándar encontrar derivadas y/o elasticidades de la demanda con respecto al precio $p_x$ para la pizza.

La derivada de la demanda de pizza con respecto al precio propio viene dada por $$ \frac{\partial x^\star(p_x,p_y,M)} {\partial p_x} = 0, $$ lo que implica que la elasticidad es

$$El_{p_x}x^\star(p_x,p_y,M) = \frac{p_x}{x^\star(p_x,p_y,M)}\frac{\partial x^\star(p_x,p_y,M)} {\partial p_x} = 0,$$

por lo que se puede concluir que la demanda es perfectamente inelástica. Cuando el precio aumenta, el consumidor simplemente mantiene la demanda constante y sustituye a las manzanas. Esto se manifiesta en el hecho de que

$$ \frac{\partial y^\star(p_x,p_y,M)} {\partial p_x} = - \sqrt{\frac{M}{p_y^3}}, $$

que es claramente negativa y, por consiguiente, la elasticidad cruzada de los precios $El_{p_x}y^\star(p_x,p_y,M) <0$ .

Esto es "inusual" si se espera que las manzanas y las pizzas sean sustitutas y que la demanda de una de ellas aumente cuando se incremente el precio cruzado.