Función del gasto

Question

Dejemos que $u (x) = \prod_{{i\leq n}}$ $(x_i-m_i)^{a_i}$ , donde $m_i\geq$ 0 y $a_i\geq$ 0, $_{{i\leq n}}a_i=1$ muestran que la función de gasto $e(p,u)$ es lineal en $u$ .

Basándome en la definición de la EF, mi primera conjetura sería encontrar el MRS en términos de $x_i$ y $m_i$ para que obtengamos $x_i^*$ y $m_i^*$ . Después de encontrar estos dos en términos de cada uno, lo sustituimos de nuevo a la $u$ función para obtener ahora $x_i^*$ y $m_i^*$ en términos de $u$ también. Después de esto, sustituimos lo que hemos encontrado a la restricción presupuestaria y demostramos que la función de gasto es lineal en $u$ de alguna manera.

No sé si debo seguir esta lógica o hay alguna otra forma de enfocar este problema? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

No es del todo cierto; la función de gasto es afín en utilidad, no lineal. Esto es Utilidad de la piedra-guarnición y utilizo el resultado de que la demanda viene dada por

$$x_i^*=m_i+\frac{a_i}{p_i}\bigg(w-\sum_j m_jp_j\bigg).$$ Se puede interpretar $\sum_j m_jp_j$ como "gastos de subsistencia" y $w-\sum_j m_jp_j$ como "gasto de no subsistencia". Introduciendo esto en la función de utilidad, se puede demostrar que la utilidad es una función lineal creciente del gasto de no subsistencia. La inversa de una función lineal vuelve a ser lineal, por lo que podemos escribir el gasto de no subsistencia como $l(u)$ con $l$ lineal (en el rango correspondiente). Esto significa entonces que el gasto total es

$$l(p)+\sum_j m_jp_j,$$ que es una función afín como la suma de una función lineal y una constante.