Derivación de la EDP de Heston-Hull-White

Question

Estoy tratando de derivar la EDP de Heston-Hull-White. La EDP correcta hacia atrás es la ecuación (1.3) de este documento en la página (2). Empezaré derivando la EDP hacia adelante, pero cambiar entre las dos es trivial.

El modelo con el que trabajo es el de Heston-Hull-White, que se presenta a continuación:

$$\mathrm{d}S = rS\mathrm{d}t + \sqrt{v}S\mathrm{d}W_1$$ $$\mathrm{d}v = \kappa (\bar{v}-v)\mathrm{d}t+\omega\sqrt{v}\mathrm{d}W_2$$ $$\mathrm{d}r = \lambda(\theta(t)-r)\mathrm{d}t + \eta\mathrm{d}W_3\text{.}$$

Supongo que $S$ y $v$ tienen correlación $\rho_{S,v}$ , $S$ y $r$ tienen correlación $\rho_{S,r}$ y $v$ y $r$ tienen correlación $\rho_{v,r}$ .

Mi enfoque es aplicar el teorema de Feynman-Kac. Esto es estándar, así que me saltaré la mayoría de los pasos.

1. Dejemos que $h(S(T))$ sea la función de pago de la opción. Para una opción de compra vainilla, $$h(S(T))=S(T)-K\text{.}\tag{1}$$

2. Dejemos que $$g(t, S(t), v(t), r(t)) =\tilde{\mathbb{E}}\Big(e^{-\int_{u=t}^{u=T}r(u)\mathrm{d}u}h(X(T))\Big)\tag{2}$$ sea el precio de la opción. Mi objetivo es encontrar la EDP (implicada por Feynman-Kac) para $g$ .

3. $g$ no es una martingala, así que primero queremos hacer una transformación para obtener una martingala. Si seguimos un ejemplo de Black-Scholes, podemos intentar hacer algo así: $$f(t, S(t), v(t), r(t)) = e^{-\int_{u=0}^{u=t}r(u)\mathrm{d}u}g(t, S(t), v(t), r(t))\text{.}\tag{3}$$ para que $f$ se convierte en una martingala. El problema aquí es que $r$ es una variable aleatoria, y no podemos sacarla fuera del valor esperado. Continúo ahora como si la definición de $f$ tiene sentido.

4. Ahora aplico el lema de Itô y establezco el coeficiente de $\mathrm{d}t$ igual a $0$ . Esto da la siguiente EDP para $f$ : $$f_t + rSf_S +\kappa(\bar{v}-v)f_v+\lambda(\theta(t)-r)f_r + \rho_{S,v}Sv\omega f_{s,v} + \rho_{S, r}\eta S\sqrt{v}f_{S, r} + \rho{v, r}\omega \sqrt{v}\eta f_{v, r}+\frac{1}{2}vS^2f_{S, S} + \frac{1}{2}v\omega^2f_{v, v} + \frac{1}{2}f_{r, r}\eta^{2}=0\text{.}\tag{4}$$

La EDP en (4) es la EDP para $f$ pero necesito la EDP para $g$ . Siguiendo un ejemplo de Black-Scholes, obtengo la EDP de $g$ calculando las derivadas parciales de $f$ en términos de $g$ utilizando (3).

Por ejemplo, calculo

$$f_t = e^{-\int_{u=0}^{u=t}r(u)\mathrm{d}u}(-r(t) g + g_t)\text{.}\tag{5}$$

A continuación, lo sustituyo de nuevo en la ecuación (4).

Ahora necesito calcular $f_r$ pero de nuevo, $r$ es una variable aleatoria. El paso (3) fue efectivamente un error. ¿Cómo continúo?

Answer 1

(Sólo lo que creo que es el comienzo correcto)

La EDP de precios sale de la dinámica de una cartera autofinanciada, $\Pi$ , cubierto contra los movimientos de las acciones, $S$ su volatilidad, $v$ y el tipo de interés $r$ .

Con $V$ la derivada independiente de la trayectoria del objetivo, $U$ opción europea de vainilla (diferente de $V$ ), y $P$ bono de cupón cero, la cartera sería:

$$ \Pi = V+\alpha S + \beta U + \gamma P,$$ $$ d\Pi = dV+\alpha dS + \beta dU + \gamma dP, $$

y aprovecharíamos el hecho de que $\Pi$ no tiene riesgo (se establecen las integradas de $dS$ , $dv$ y $dr$ a $0$ ) y también el hecho de que devuelve $r$ :

$$ d\Pi = r \Pi dt. $$

Observamos que, bajo la dinámica de HW, $P(t,T)$ es sólo un función determinista de $r_t$ solamente (por lo que no necesitamos preocuparnos por la tasa corta integrada) y tiene su propia EDP (en $r$ variable).

Esto sería una extensión de la derivación detallada de la EDP de Heston por Rouah aquí .