Los tipos de interés a plazo son martingala bajo la medida T-forward

Question

Los tipos de interés a plazo son martingalas bajo la $T$ -hacia adelante, pero esta derivación sugiere lo contrario. ¿Podría alguien señalar el error?

Dejemos que $dW_Q$ sea un movimiento browniano en la medida neutral de riesgo. Sea $B(t,T)$ sea un bono que comience en el momento $t$ y pagando en $T$ . Supongamos: $$\frac{dB(t,T)}{B(t,T)}=r_t dt+_B (t,T)dW_Q$$ Convirtiendo la browniana en la correspondiente en $T$ -Medida de avance: $$dW_T = dW_Q - _B (t,T)dt$$
Por lo tanto, en $T$ -Medida de avance:
$$\frac{dB(t,T)}{B(t,T)}=(r_t + \sigma_B^2(t,T) ) dt+_B (t,T)dW_T$$
Por el lema de Ito: $$\ln(B(t,T)) = \ln(B(0,T)) + \int_0^t[r(s)+\sigma_B^2(s,T)-\frac{1} {2}\sigma_B^2(s,T)]ds + \int_0^t\sigma_B(s,T)dW_T$$
Ahora, $f(t,T)=-\frac{\partial \ln(B(t,T))}{\partial T}$ por lo tanto: $$f(t,T)=f(0,T) - \int_0^t[\sigma_B(s,T).\partial_T\sigma_B(s,T)]ds -\int_0^t\partial_T\sigma_B(s,T)dW_T$$ Así: $$df(t,T) = -\sigma_B(s,T).\partial_T\sigma_B(s,T)dt -\partial_T\sigma_B(s,T)dW_T$$

que no está a la deriva y, por lo tanto, no sale a la luz para ser una martingala.

Answer 1

Nótese que, el movimiento browniano $W_T$ también depende de $T$ . Cuando se toma la derivada con respecto a $T$ También hay que tener en cuenta el cambio de la familia del movimiento browniano.

Para evitar esta dificultad, lo que se puede hacer es derivar primero la dinámica bajo la medida de riesgo neutro, y luego cambiar a la $T$ -medida de avance. Específicamente, junto con la línea de su derivación, bajo la medida de riesgo neutral, \begin{align*} df(t, T) = \sigma_B(s,T).\partial_T\sigma_B(s,T)dt -\partial_T\sigma_B(s,T)dW_Q. \end{align*} Entonces, a partir del cambio de numerario, $W_T$ es un movimiento browniano bajo la $T$ -medida anticipada $P_T$ , donde $dW_T= dW_Q-\sigma_B(t, T)dt$ . Además, bajo $P_T$ , \begin{align*} df(t, T) = -\partial_T\sigma_B(s,T)dW_T. \end{align*}