Modelo CRR de arbitraje libre

Question

Actualmente estoy estudiando esta prueba

En esta prueba el autor define una medida de probabilidad

$$P^*[\{\omega\}]=(p^*)^{k(\omega)}(1-p^*)^{T-k(\omega)}$$ en $$\Omega=\{\omega=(y_1,\ldots,y_T)|y_i=\pm1\}$$

donde $p^*=(r-a)/(b-a)$ y $k(\omega)$ es el número de unos en $\omega$ .

$a<r<b$ .

Lamentablemente no puedo probar que $P^*$ es efectivamente una medida de probabilidad.

$P^*[\{\omega\}]\ge0$ está claro.

No veo $P^*(\Omega)=1$

$P^*(\Omega)=\sum_{\omega_i \in \Omega}(p^*)^{k(\omega_i)}(1-p^*)^{T-k(\omega_i)}$ pero no sé cómo continuar

Answer 1

Si considera que $\omega$ y $\tilde{\omega}$ con $k(\omega)=k(\tilde{\omega})$ sostiene que $P^*(\omega)=P^*(\tilde{\omega})$ . Ahora, en lugar de sumar sobre cada $\omega_i \in \Omega$ se puede resumir desde $n =0 ... T$ y contar los elementos con $k(\omega_i)= n$ . Hay $\dbinom{T}{n}$ elementos en $\Omega$ que cumplen con $k(\omega_i)= n$ .

Por lo tanto, $P^*(\Omega)=\sum_{\omega_i \in \Omega}(p^*)^{k(\omega_i)}(1-p^*)^{T-k(\omega_i)} = \sum_{n=0}^T \dbinom{T}{n} (p^*)^n(1-p^*)^{T-n}=1$ como resultado del teorema del binomio.