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Modelo CRR de arbitraje libre

Actualmente estoy estudiando esta prueba

En esta prueba el autor define una medida de probabilidad

P[{ω}]=(p)k(ω)(1p)Tk(ω) en Ω={ω=(y1,,yT)|yi=±1}

donde p=(ra)/(ba) y k(ω) es el número de unos en ω .

a<r<b .

Lamentablemente no puedo probar que P es efectivamente una medida de probabilidad.

P[{ω}]0 está claro.

No veo P(Ω)=1

P(Ω)=ωiΩ(p)k(ωi)(1p)Tk(ωi) pero no sé cómo continuar

1voto

Damian Powell Puntos 4156

Si considera que ω y ˜ω con k(ω)=k(˜ω) sostiene que P(ω)=P(˜ω) . Ahora, en lugar de sumar sobre cada ωiΩ se puede resumir desde n=0...T y contar los elementos con k(ωi)=n . Hay \dbinom{T}{n} elementos en \Omega que cumplen con k(\omega_i)= n .

Por lo tanto, P^*(\Omega)=\sum_{\omega_i \in \Omega}(p^*)^{k(\omega_i)}(1-p^*)^{T-k(\omega_i)} = \sum_{n=0}^T \dbinom{T}{n} (p^*)^n(1-p^*)^{T-n}=1 como resultado del teorema del binomio.

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