Mostrar la función de utilidad da preferencias que son racionales y convexas

Question

Consideremos un consumidor con una relación de preferencias $\succsim$ sobre mercancías no negativas $x_1$ y $x_2$ tal que su utilidad U = $x_1$ + $\ln(x_2)$

¿Son racionales estas preferencias y son convexas/estrictamente convexas?

Estoy un poco confundido sobre cómo hacer esto. En primer lugar, sé que las preferencias tienen que ser completas y transitivas para ser racionales, pero para una función de utilidad, sólo tiene que ser continua, ¿no? ¿Hay alguna otra propiedad que necesite? Dicho esto, ¿cómo puedo demostrar matemáticamente que esta función es realmente continua? Si la grafico, es continua, pero ¿hay una prueba matemática para esto?

Para la segunda parte, si las preferencias son (estrictamente) convexas, entonces las preferencias deben ser (estrictamente) cuasicóncavas ¿no? ¿Cómo puedo demostrar matemáticamente que esta función es cuasi-cóncava?

En línea, dice que una función es cuasicóncava si $f(\lambda x+(1-\lambda )y)\geq \min {\big \{}f(x),f(y){\big \}}$ pero me cuesta entender esto en relación con una utilidad que tiene tanto $x_1$ y un $x_2$ valor. Cuando miro la función anterior, sólo la entiendo para $f(a) = a^2$ y no hay una segunda variable ahí.

Gracias.

Answer 1

Te daré algunas pistas para que empieces. En primer lugar, ten en cuenta que desde la preferencia $\succsim$ está representada por la función de utilidad $U(x_1,x_2)=x_1+\ln x_2$ se deduce que \begin{equation} (x_1,x_2)\succsim (x_1',x_2')\quad\Leftrightarrow\quad U(x_1,x_2)\ge U(x_1',x_2') \tag{1} \end{equation}

Teniendo en cuenta esta equivalencia, considere:

• Completitud : $\succsim$ es completa si para todo $(x_1,x_2),(x_1',x_2')\in\mathbb R_+^2$ , \begin{equation} \text{either }(x_1,x_2)\succsim (x_1',x_2'), \quad\text{or }(x_1',x_2')\succsim(x_1,x_2). \tag{2} \end{equation} Utilizando $(1)$ podemos reescribir $(2)$ como \begin{equation} \text{either }U(x_1,x_2)\ge U(x_1',x_2'), \quad\text{or }U(x_1',x_2')\ge U(x_1,x_2). \tag{2*} \end{equation} Ahora $(2^*)$ debería ser fácil de demostrar utilizando la propiedad de que $\mathbb R$ es un campo ordenado.

• Transitividad : Utiliza el mismo truco para traducir el ordenamiento de preferencias en ordenamiento de números reales.

• Convexidad : Partir de la definición de que $\succsim$ es convexo si para cualquier $\alpha\in[0,1]$ , \begin{multline} (x_1,x_2)\succsim(x_1'',x_2'') \text{ and } (x_1',x_2')\succsim (x_1'',x_2'') \\\Rightarrow \quad \alpha(x_1,x_2)+(1-\alpha)(x_1',x_2')\succsim(x_1'',x_2'') \end{multline} De nuevo, traduzca la ordenación de preferencias en ordenación de números reales para demostrar la implicación. Como $U$ es cuasi-lineal, esta manera le ahorrará algunos problemas de tratar con Hessians y así sucesivamente.

Answer 2

1. Para que las preferencias sean racionales, deben ser completas y transitivas. Obsérvese que, dado que las preferencias $\succsim$ están representados por la función de utilidad $u:\mathbb{R}^{2}\to \mathbb{R}$ (como se define en la pregunta), tenemos $x\succsim y\iff u(x)\geq u(y)$ para cualquier $x,y\in \mathbb{R}^{2}$ .

Completitud: Considere cualquier $x, x'\in \mathbb{R}^{2}$ . Dado que la ordenación $\geq$ de $\mathbb{R}$ es completa (es decir, dos números reales cualesquiera pueden ser comparado ), tenemos $u(x)\geq u(x')\iff x\succsim x'$ o $u(x')\geq u(x)\iff x'\succsim x$ . Transitividad: Considere cualquier $x,y,z\in \mathbb{R}^{2}$ y supongamos $x\succsim y$ y $y\succsim z$ . Por lo tanto, tenemos $u(x)\geq u(y)$ y $u(y)\geq u(z)$ . Dado que la ordenación $\geq$ de $\mathbb{R}$ es transitiva, tenemos $u(x)\geq u(z)$ lo que equivale a $x\succsim z$ .

Una nota al margen: si las preferencias están efectivamente representadas por una función de utilidad, son racionales porque el orden $\geq$ es un orden completo y transitivo en los Reales. Por lo tanto, no se necesita continuidad en la función de utilidad para llegar a preferencias racionales.

2. La función de utilidad es estrictamente cóncava. Aquí está el material de Martin Osborne para esto: https://mjo.osborne.economics.utoronto.ca/index.php/tutorial/index/1/cvn/t .

En general, se puede mirar el hessiano para funciones multivariables dos veces diferenciables como ésta. La función de utilidad que mencionas es (estrictamente) cóncava. La concavidad estricta implica la cuasi-concavidad estricta y, por tanto, las preferencias son (estrictamente) convexas.