No se puede tener un argumento preciso sin una definición precisa. En general, la noción adecuada de integral aquí es la integral de Lebesgue-Stieltjes. En una configuración bastante general, dejemos que $F: \mathbb R \to \mathbb R$ sea una función continua por la derecha que tenga una variación localmente acotada, es decir $$V_F([a,b]) := \sup\lbrace \sum_{i=1}^n \vert F(x_{i+1}) - F(x_i ) \vert :\; a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b , n \in\mathbb N \rbrace < \infty\quad \forall a < b $$ Dicha función puede escribirse como $F = f - g$ para funciones continuas por la derecha y monótonamente crecientes $f, g$ . Entonces, $\mu^f ([a, b[) := f(b) - f(a)$ y $\mu^g$ análogamente para $g$ definen medidas (de hecho, son premedidas en el anillo generado por intervalos semiabiertos). Por un procedimiento estándar, esto puede extenderse a una medida exterior y, por tanto, a una medida (esto se conoce como la construcción de Caratheodory, véase Rudin Real and Complex Analysis). Esto da una descomposición $\mu^F = \mu^f - \mu^g$ , donde $\mu^f, \mu^g$ son medidas genuinas y positivas y $\mu^F$ es una medida con signo. En general, $f, g$ y $\mu^f, \mu^g$ no son únicas, pero es posible elegirlas de manera que $\mathbb R = A \cup B$ con $A \cap B = \emptyset$ y $\mu^f (A) = \mu^g (B) = 0$ . Dicha descomposición se denomina descomposición de Hahn-Jordan (entonces, la medida $\vert \mu^F \vert := \mu^f + \mu^g$ se llama la variación absoluta de $\mu^F$ y $V_F ([a,b]) = \vert \mu^F \vert ([a,b])$ ).
Ahora, si tienes una variable de probabilidad $X$ , $F(x) := P [X \leq x]$ define una función continua a la derecha, y tiene una variación acotada de hecho, y por lo tanto se puede definir una integral $$\int_U h\,d F = \int_U h\,d\mu^F = \int_U h\,d\mu^f - \int_U h\,d\mu^g$$ No es importante aquí que $\mu^F = \mu^f - \mu^g$ es la descomposición de Hahn-Jordan, pero cualquier descomposición funciona y da el mismo resultado (en realidad esta es la observación clave, y la prueba debería estar en cualquier texto sobre medidas con signo o complejas).
Sin embargo, en el caso de $\overline{F}$ una posible descomposición es $\overline F = 0 - (-1 + F), f = 0, g = -1 + F$ . Esto le da $$\int h\,d\overline F = -\int h\,d (-1 + F)$$ Pero ahora es evidente que $(-1 + F)(b) - (-1 + F)(b) = F(b) - F(a)$ Por lo tanto $$\int h\,d(-1 + F) = \int h\,dF$$
EDIT: Por cierto, las medidas con signo constituyen un espacio vectorial y esto es compatible con la estructura de espacio vectorial de las funciones BV, por lo que $d(1-F) = d(1) - dF$ es un argumento válido. Pero creo que se pierde el punto principal.
