En efecto, esto es un poco confuso. Las funciones de oferta y demanda dependen de potencial precios. Es decir, los agentes piensan "si el precio fuera un nivel determinado, ¿qué querría ofrecer o demandar?". Así que la oferta y la demanda dependen de toda una gama de precios (hipotéticos). Sin embargo, los equilibrio (que es un precio determinado y diferente de la gama de precios potenciales) es aquel precio en el que confluyen la oferta y la demanda. En tu ejemplo, el equilibrio es donde la lógica circular se detiene y encuentra un punto de reposo, por lo que también nos referimos a él como equilibrio. Se trata de un concepto que tomamos prestado de la física y que suele utilizarse para referirse a una posición en la que las cosas dejan de cambiar/moverse.
Sin embargo, tienes razón al preguntar cómo se inicia todo este proceso.
La forma rigurosa de pensar en esto para los economistas, es utilizar lo que se llama un "Subastador Walrasiano".
Puede imaginarse el proceso así. Un subastador anuncia los precios. Los proveedores informan de la cantidad que desean suministrar, mientras que los consumidores informan de la cantidad que desean demandar. Si no coinciden, el subastador anuncia otros precios. Esto continúa hasta que la demanda se encuentra con la oferta y entonces el subastador se detiene.
Por supuesto, en la realidad, no hay ningún subastador walrasiano. Sin embargo, no es difícil imaginar que una nueva empresa fije un determinado precio al empezar y que luego lo ajuste en función de la demanda. Además, en función de eso pueden entrar nuevos proveedores, lo que modifica la oferta y hace que el precio se ajuste de nuevo. Así sucesivamente hasta que se encuentra un punto estable, al que llamamos equilibrio.