Lanzamiento de dados y probabilidad neutral al riesgo

Question

Consideremos el juego de lanzar un dado "justo". No estoy seguro de que la respuesta sea obvia, pero ¿hay alguna prueba (por ejemplo, un argumento de replicación) de que bajo la medida de riesgo neutro la probabilidad de cualquier resultado es 1/6 y, por tanto, el precio del juego es 3,5? En otras palabras, ¿por qué bajo la medida de probabilidad real la probabilidad de 1/6 coincide con la de la medida de riesgo neutral?

Supongo que se podría argumentar que si la probabilidad neutral de riesgo no fuera 1/6, entonces se podría crear un arbitraje entrando en el juego infinitas veces. Pero, ¿hay alguna otra forma de responder a la pregunta anterior?

Answer 1

La información que has proporcionado no es suficiente para deducir las probabilidades neutrales al riesgo. Tienes que proporcionar algo así como un proceso de precios a partir del cual se puedan calcular las probabilidades neutrales al riesgo.

He aquí algunos ejemplos:

Ejemplo1:

Consideremos un juego en el que se paga 1 y se gana 6 en caso de que se lance un seis y 0 en caso contrario. Así que en términos de matemáticas financieras tenemos un modelo binomial con los siguientes parámetros: $$ S_0 = 1, \quad S_1(up) = 6, \quad S_1(down) = 0, \quad r = 0. $$ En particular, obtenemos para las probabilidades neutrales al riesgo $\Bbb Q(up) = \frac 16$ , $\Bbb Q(down) = \frac 56$ de manera que las probabilidades físicas y las probabilidades neutrales al riesgo coincidan.

Ejemplo2:

Consideremos un juego en el que se paga 3,5 y se gana lo que muestren los dados. En este caso, las probabilidades físicas son neutrales al riesgo, pero hay medidas mucho más neutrales al riesgo. En términos de matemáticas financieras, esto significa que el mercado no es completo. Otro ejemplo de medida neutral al riesgo sería: $$ q_1 = \frac 16, \quad q_2 = \frac 16, \quad q_3 = \frac 1{4}, \quad q_4 = \frac 1 {12}, \quad q_5 = \frac 1{12}, \quad q_6 = \frac 14 $$

Ejemplo3

Consideremos un juego en el que se paga 1 y se gana lo que muestren los dados. En este caso, el proceso de precios no es una martingala bajo la medida física y, por tanto, sus probabilidades físicas no son neutrales al riesgo.

Espero que esto ayude un poco.