Construir una cartera con $\beta=1$ y minimizar $\sigma^2$ utilizando el CAPM

Question

Supongamos que hay dos acciones A y B:

• los rendimientos esperados son $E[R_A]=0.1$ , $E[R_B]=0.15$ ;
• las desviaciones estándar son $\sigma_A=0.1$ , $\sigma_A=0.2$ ;
• la correlación es $corr(A,B)=0.6$ ;
• sus betas a algún índice ( no el mercado ) son 0,45 y 0,9, respectivamente.

Si queremos construir una cartera con las acciones A y B de forma que la cartera beta al mercado es 1 y sigma es lo más pequeño posible, ¿cuál sería la relación entre el peso de la acción A y el peso de la acción B en esta cartera?

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Podría llegar a obtener la covarianza entre A y B ( $\sigma_{AB}=0.012$ ), y que el peso de la acción A $= X$ exprese la varianza de la cartera en términos de X = $0.026X^2+0.016X+0.04$ . Pero no tengo ni idea de cómo pasar de la beta del índice a la beta del mercado.

Answer 1

El problema es: ¿qué se define como mercado?

Se puede construir fácilmente la frontera eficiente utilizando la matriz de covarianza. Puedes mostrar fácilmente que la frontera eficiente contiene la solución, tal vez con o sin apalancamiento.

Sin la definición del mercado (por ejemplo, el índice ponderado por capitalización, la cartera de tangencia de los 2 activos), la pregunta no tiene, sin embargo, demasiado sentido.