Valoración de la opción "Efectivo o nada

Question

Estudiando la fijación de precios de las opciones, me encuentro con el siguiente problema:

El precio de una acción se describe mediante la dinámica: $$dS_t = \mu\, dt + \sigma\,dW_t$$ Calcule el precio justo de un Opción de efectivo o nada con función de pago $V(S_T) = \mathbb{1}_{S_T<K}$ .

Una pista: Sustituir $\mu$ tal que, el precio descontado al vencimiento $S(T)$ bajo la medida libre de riesgo es una martingala.

Significa que la opción sólo puede ejercerse al vencimiento $T$ y tiene valor $1$ cuando al vencimiento el precio del subyacente está por debajo del strike.

Mis pensamientos: Utilice un proceso de discretización como Euler-Maruyama y luego calcular recursivamente el valor de $S(T)$ . A continuación, utilizando la función de pago, aproxímela con una simulación de Monte-Carlo.

Sin embargo, no sé cómo utilizar esta Pista. Mi profesor me ha dicho que podría ser muy útil, pero no sé cómo utilizarla. Cualquier ayuda con este problema sería realmente significativa.

Muchas gracias.

Answer 1

Se puede utilizar una aproximación de este tipo, pero hay precios analíticos conocidos. Existe un caso especial en el que el precio de las acciones se distribuye normalmente. Véase el modelo de Bachelier.

Establecer $\mu=r-q$ (si tiene dividendos, o simplemente $\mu=r$ si no hay dividendos). Por tanto, si se pasa de la medida de probabilidad del mundo real $\mathbb{P}$ a la medida neutral de riesgo $\mathbb{Q}$ se consigue que $\mathrm{d}S_t=(r-q)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t$ . Entonces, utilizando la fijación de precios neutrales al riesgo, el valor inicial de su reclamación viene dado por \begin{align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[{1}_{\{S_T< K\}}] \\ &= e^{-rT} \mathbb{Q}[\{S_T< K\}]. \end{align*}

Por lo tanto, todo lo que hay que hacer es encontrar la distribución de probabilidad de $S_T$ en $\mathbb{Q}$ . Usando de nuevo que $\mathrm{d}S_t=(r-q)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t$ vemos que $(S_t)$ es un movimiento browniano aritmético bajo $\mathbb{Q}$ y, por tanto, se distribuye normalmente. Además, \begin{align*} S_T= S_0+(r-q)T + \sigma W_T \sim N\big(S_0+(r-q)T,\sigma^2T\big), \end{align*} desde $W_T\sim N(0,T)$ . Ahora, establece $m=S_0+(r-q)T$ y $s=\sigma\sqrt{T}$ . Entonces, $S_T=m+sZ$ donde $Z\sim N(0,1)$ . Así, \begin{align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb{Q}[\{m+sZ< K\}]\\ &= e^{-rT} \mathbb{Q}\left[\left\{Z< \frac{K-m}{s}\right\}\right]\\ &= e^{-rT} \Phi\left(\frac{K-m}{s}\right)\\ &= e^{-rT} \Phi\left(-\frac{S_0-K+(r-q)T}{\sigma\sqrt{T}}\right) \\ &= e^{-rT} \left(1- \Phi\left(\frac{S_0-K+(r-q)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\right), \end{align*}

donde $\Phi$ denota la función de distribución acumulativa de una distribución normal estándar.

Permítanme destacar que, por supuesto, se puede poner precio a tal afirmación con Euler Maruyama. También puedes emplear diferencias finitas o transformadas de Fourier. Incluso se puede construir un árbol (binomial). Pero si se dispone de una respuesta analítica sencilla, es preferible.

Por cierto, en el modelo Black-Scholes, el precio de una opción de efectivo o nada viene dado por $e^{-rT}\Phi(-d_2)=e^{-rT}\big(1-\Phi(d_2)\big)$ , ver aquí .