¿Cómo se obtiene la función de costes de la empresa a partir de la función de producción?

Question

Recientemente he aprendido a resolver el siguiente tipo de problema utilizando el método de los multiplicadores de Lagrang:

Dado un consumidor con función de utilidad $u(x,y)$ , la riqueza $w$ Precios $p =(p_x,p_y)$ , restricción presupuestaria $w = xp_x + yp_y$ . Encuentre la función de demanda para $x$ y $y$ . También aprendí a encontrar funciones de coste introduciendo estas funciones de demanda en mi restricción presupuestaria y reescribiendo para obtener una función de coste.

Pero todos esos casos implicaban tener $w$ y de alguna manera presupuestar con respecto a ese presupuesto.

Configuración del problema:

Supongamos que una empresa tiene un precio de mercado para el bien en cuestión $p$ . Supongamos que la empresa tiene una función de producción $F(K,L)$ . Derivar la función de costes de las empresas.

Mi pregunta:

¿Cómo debo abordar este problema?

Mis ideas / pensamientos relevantes para resolver el problema:

No se me da la riqueza $w$ aunque supongo que podría suponer que cualquier empresa que compre tiene algo de presupuesto. Todos los problemas anteriores que he hecho implicaban dos bienes, pero este implica uno. Por lo tanto, tal vez podría tener una restricción presupuestaria $w = qp$ donde $q$ es la cantidad y $p$ es el precio dado a la empresa que toma el precio. Pero los problemas de multiplicadores lagrangianos que he visto implican dos variables y esto es sólo una función de una.

Observación:

La función de producción específica que estoy utilizando es $F(K,L) = \sqrt{k} + \sqrt{l}$ . Sólo incluyo esto en caso de que sea relevante. Quiero resolver el problema yo mismo.

Answer 1

"No se me da la riqueza $w$ aunque supongo que podría asumir que cualquier empresa que está comprando tiene algún presupuesto".

No. Esto es exactamente donde el fundamental La teoría microeconómica de la empresa difiere de la teoría microeconómica del consumidor: la empresa es no limitado por un presupuesto. La razón es que esta teoría fundamental se ocupa sobre todo de la visión "a largo plazo", o incluso mejor, de la "visión de planificación". Así pues, suponemos que la cantidad necesaria para cubrir los gastos procederá de las ventas, ya que la empresa no entrará en producción con pérdidas (recordemos también que se trata de una configuración determinista, no hay incertidumbre). Las consideraciones relativas al capital circulante (el hecho de que, por lo general, primero hay que pagar los gastos y luego recaudar los ingresos), no entran en la visión a largo plazo, justificadamente, es un fenómeno a corto plazo. Además, en el enfoque a largo plazo o de planificación, no hay costes fijos, todos los factores son variables.

Ahora, el enfoque de "minimización de costes" para resolver el problema de optimización de la empresa, es un supuesto de comportamiento alternativo a la configuración de maximización de beneficios, y es muy relevante en muchos casos del mundo real: las empresas de servicios públicos que existen principalmente para satisfacer la demanda, y su motivo no es maximizar los beneficios, sino que quieren minimizar el coste para el dado nivel de producción, determinado por la demanda, en el contexto del uso eficiente de los siempre escasos recursos.

Pero además, el caso de una empresa que toma el precio y que es demasiado pequeña en comparación con su mercado, está más cerca de un comportamiento de minimización de costes que de maximización de beneficios, ya que la empresa no tiene realmente control sobre su producción (excepto hacia abajo por decisión directa).

En ambos casos aparece una variable exógena: el propio nivel de producción. Así que resolvemos el problema tratando el nivel de producción como una "constante" o mejor, lo resolvemos para cualquier nivel de producción dado, y la solución que obtenemos tiene el nivel de producción como uno de sus componentes.

Así que

$$\min_{K,L} C\equiv rK + wL \\ s.t. F(K,L) = \bar Q$$

con el Lagrangean

$$\Lambda = rK + wL +\lambda[\bar Q - F(K,L)]$$

Las condiciones de primer orden son

$$r = \lambda F_K,\;\;\; w=\lambda F_L \tag{1}$$

que da, en el óptimo,

$$rK + wL = C = \lambda\big(F_KK + F_L L) \tag{2}$$

Supongamos ahora que la función de producción es homogénea de algún grado $h$ ( no necesariamente homogénea de grado uno, es decir, que presenta "rendimientos constantes a escala", sino homogénea -y la suya es, de grado $h=1/2$ .). En Teorema de Euler para funciones homogéneas de grado $h$ tenemos que

$$F_KK + F_L L = hF(K,L) = h\bar Q \tag{3}$$

la última igualdad se mantiene dada la restricción del problema inicial. Insertando $(3)$ en $(2)$ obtenemos

$$C = \lambda h \bar Q$$

El multiplicador $\lambda$ es Coste marginal óptimo , denótelo como $C'(\bar Q)$ Así llegamos a

$$C = C'(\bar Q)\cdot (h\bar Q) \implies C'(\bar Q) + [(-1/h\bar Q)]\cdot C =0$$

Se trata de una ecuación diferencial homogénea simple con solución

$$C = A\cdot \exp\left\{-\int(-1/h\bar Q) {\rm d}\bar Q \right\} = A\cdot \exp\left\{(1/h)\ln \bar Q\right\}$$

$$\implies C^* = A\cdot (\bar Q)^{1/h} \tag{4}$$

para alguna constante $A >0$ . Para completar la solución, necesitamos expresar el objeto de interés, $C^*$ en función de las entidades exógenas: $r,w,\bar Q$ . Para ello deduzca el coste marginal óptimo (que es igual al multiplicador)

$$(4) \implies \lambda^* = (1/h)A(\bar Q)^{1/h-1} \tag{5}$$

Inserción de $(5)$ en las condiciones de primer orden tenemos

$$r = (1/h)A(\bar Q)^{1/h-1} F_K,\;\;\; w=(1/h)A(\bar Q)^{1/h-1} F_L \tag{6}$$

Es el momento de utilizar la forma funcional específica de la función de producción

$$F(K,L) = K^{1/2} + L^{1/2} \implies, F_K = \frac 12 K^{-1/2},\;\; F_L = \frac 12 L^{-1/2} \tag{7}$$

Inertización $(7)$ en $(6)$ junto con $h=1/2$ obtenemos, después de la manipulación,

$$rK = \frac {A^2}{r}(\bar Q)^2,\;\; wL = \frac {A^2}{w}(\bar Q)^2 \tag{8}$$

Suma las dos para obtener una expresión alternativa para la función de coste

$$rK+wL = C^* = A(\bar Q)^2\cdot \left[\frac Ar + \frac Aw\right] \tag{9}$$

Pero la inserción de $h=1/2$ en $(4)$ también tenemos que

$$C^* = A(\bar Q)^2 \tag{10}$$ Así que

$$ (9),(10) \implies A(\bar Q)^2\cdot \left[\frac Ar + \frac Aw\right] = A(\bar Q)^2$$

$$\implies \frac Ar + \frac Aw = 1 \implies A = \frac {wr}{w+r} \tag {11}$$

Inserción de $(11)$ en $(4)$ concluimos obteniendo

$$C^* = \frac {wr}{w+r}\cdot (\bar Q)^2 \tag{12}$$

Tres cosas:
A) Verificar que se cumplen las condiciones de segundo orden para que todo esto conduzca efectivamente a la función de costes óptima.

B) Resolver el problema de maximización de beneficios sin restricciones con la misma función de producción, normalizando el precio de la producción a $p=1$ (es decir, tratar los precios exógenos, $w,r$ expresado en términos reales), para comprobar que conducirá a un nivel de costes que sea coherente con $(12)$ .

C) Si está interesado en la teoría de la empresa bajo una restricción presupuestaria, un documento relacionado es Lee, H., y Chambers, R. G. (1986). Expenditure constraints and profit maximization in US agriculture. American Journal of Agricultural Economics, 68(4), 857-865.

Answer 2

Aquí no hace falta tener ningún conocimiento de la "riqueza", porque esta "riqueza" necesaria para producir es exactamente el valor de la función de costes, es lo que se trata de encontrar.

La función de costes es la cantidad mínima de gastos necesarios para producir una cantidad determinada de producto dados unos precios. Supongamos que el precio del producto final es $p$ y los precios de los insumos son $w_1$ y $w_2$ . Entonces su problema es encontrar tal $k$ y $l$ que puede producir una cantidad determinada $x$ y gastar lo menos posible.

Esto se puede formalizar de la siguiente manera: $$c(x, w_1, w_2) = \min\limits_{k,l}(w_1 k + w_2 l), s.t. F(k,l) = x$$

Ahora deberías ser capaz de resolverlo aplicando la técnica del multiplicador de Lagrange que has aprendido.