¿Depende la racionalidad vNM del bien elegido?

Question

El teorema de von Neumann-Morgenstern establece que, suponiendo que las preferencias de una persona bajo riesgo cumplan ciertos axiomas de racionalidad, entonces existe una función de utilidad u, la función de utilidad de von Neumann, tal que la persona tiende a maximizar el valor esperado de u. Por esta razón, la hipótesis de que las personas cumplen los axiomas de racionalidad de von Neumann-Morgenstern se conoce como teoría de la utilidad esperada. Ahora, en mi pregunta aquí, pregunté acerca de una confusión que tenía sobre la paradoja de Ellsberg, uno de los principales desafíos para la teoría de la utilidad esperada. Pero al reflexionar más al respecto, me parece que el problema fundamental era más general que la paradoja de Ellsberg.

Considera un bien X. Sea $L_1$ la lotería que te da garantizados 2 unidades de X, y sea $L_2$ la lotería que te da un 50% de probabilidad de 1 unidad de X, y un 50% de probabilidad de 3 unidades de X. Entonces mi pregunta es, ¿siempre es consistente con los axiomas de von Neumann-Morgenstern preferir la lotería $L_1$ a la lotería $L_2$? ¿O hay algunos bienes X para los cuales es inconsistente con los axiomas de vNM preferir $L_1$ a $L_2$?

Bueno, supongamos que el bien X son dólares. Entonces, si u es la función de utilidad de vNM, entonces la utilidad esperada de $L_1$ es igual a $u(2)$, y la utilidad esperada de $L_2$ es igual a $.5u(1) + .5u(3)$. Y ciertamente no es inconsistente con los axiomas de vNM que $u(2)$ sea mayor que $.5u(1) + .5u(3)$; eso simplemente significa que la persona tiene utilidad marginal decreciente/aversion al riesgo.

Pero ahora elijamos un bien X diferente. Considera una rifa donde se colocan cuatro boletos en un sombrero, se saca un solo boleto, y quien sea que pertenezca el boleto gana 100 dólares. Sea el bien X boletos de rifa en esta rifa. Entonces la probabilidad de ganar 100 dólares es igual a .25 veces el número de boletos que tienes. Entonces, bajo este escenario, el valor esperado de $L_1$ es $.5u(100)$, y el valor esperado de $L_2$ es $(.5)(.25)u(100)+(.5)(.75)u(100) = .5u(100)$. Así que el valor esperado de las dos loterías es igual, por lo que es irracional preferir $L_1$ a $L_2$.

Entonces, ¿qué está pasando aquí? ¿Cómo es que preferir 2 unidades de X a un 50% de probabilidad de 1 unidad de X y un 50% de probabilidad de 3 unidades de X es vNM-racional para un bien X pero no es vNM-racional para otro? Solo para añadir a la absurdidad, ¿qué pasaría si alguien estuviera tomando una decisión entre la lotería $L_1$ y $L_2$ donde el bien X son dólares, y luego planeaba usar el dinero que ganara para comprar boletos de rifa? ¿Entonces la elección entre $L_1$ y $L_2$ donde X son dólares se reduciría a la elección entre $L_1$ y $L_2$ donde X son boletos de rifa?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Gracias de antemano.

Answer 1

En la teoría de Von Neumann-Morgenstern, los argumentos de la función de utilidad son bienes de consumo final. La función de utilidad se extiende sobre loterías por linealidad, pero realmente no tiene sentido asumir que el individuo "consume" las loterías L1 y L2 en tu escenario con los boletos de rifa: lo que consume en última instancia es el premio monetario de 100 dólares. Por lo tanto, no hay razón para esperar algo como la disminución de la utilidad marginal sobre los boletos de lotería, sino solo sobre los premios monetarios finales.

Esta propiedad proviene del axioma de independencia: intuitivamente, el tomador de decisiones ve las aleatorizaciones sobre loterías y las aleatorizaciones sobre bienes de consumo final de manera diferente. Este patrón de comportamiento (que encuentras paradójico) generalmente se llama Reducción de Loterías Compuestas. En tu escenario, dice que el agente considera que la lotería L2 y la lotería que se calcula mediante la combinación de las probabilidades de segundo orden son objetos equivalentes. Hay algunas razones para cuestionar la relevancia de este axioma si quieres profundizar (por ejemplo, se ha encontrado que el comportamiento tipo Ellsberg está asociado con una aversión a las loterías compuestas).

Espero que te sea útil.