Estabilidad de las expectativas: aprendizaje adaptativo de los equilibrios RE en los sistemas dinámicos

Question

Hay dos pasos en la explicación del concepto de estabilidad de las expectativas de Evans y Honkapohja (2001) (véase más abajo) que no entiendo.

Paso 1.

¿Qué significa esta fórmula, intuitivamente, y por qué la única solución de expectativas racionales es el único punto fijo del mapa T? ¿Qué es en realidad un mapa? Es la fórmula 2.7, pero, ¿es sólo una ecuación o relaciones o algo especial?

$$ \frac{d}{d \tau} \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} $$

---

Paso 2. Escriben la ecuación diferencial componente por componente

$$ \frac{da}{d \tau} = \mu+ (\alpha - 1)a $$

$$ \frac{db_i}{d \tau} = \delta_i + (\alpha - 1)b_i $$

Entiendo cómo llegar a esto suponiendo que entiendo 2,8 (que no lo hago). ¿Qué significan estas derivaciones: da/dtau? Pero, ¿cómo definir que la solución de expectativas racionales es estable? Ellos dicen: De ello se deduce que la REE es estable en E si y sólo si <1. ¿Cómo puedes ver eso?

Gracias.

---

El extracto completo de Evans y Honkapohja (2001) puede leerse a continuación.

Para ver también todas las partes matemáticas menos importantes, consulte el siguiente enlace de google books a partir de la página 30 (sección 2.4 y siguientes): https://books.google.be/books?id=A7rWCwAAQBAJ&pg=PA40&hl=nl&source=gbs_selected_pages&cad=3#v=onepage&q&f=false

2.4 Estabilidad de las expectativas

La condición < 1 puede ser interpretada en términos de un principio general de estabilidad, conocido como "estabilidad de las expectativas" o "estabilidad E". Dado que, como veremos, este principio funciona de forma bastante general para proporcionar la condición de estabilidad de un REE bajo aprendizaje adaptativo, introducimos ahora el concepto. El concepto básico necesario es el mapa de la ley de movimiento percibida (PLM) a la ley de movimiento real (ALM). El principio de estabilidad de la E expresado en su forma más completa es que el mapa de la PLM a la ALM gobierna la estabilidad de los equilibrios bajo aprendizaje. Más concretamente, las condiciones de estabilidad E obtenidas a partir de este mapeo proporcionan las condiciones para la estabilidad asintótica estabilidad asintótica de un REE bajo aprendizaje por mínimos cuadrados. Nos centramos aquí en la obtención de esta condición para el modelo cobweb. Comenzamos con el supuesto de que los agentes tienen un PLM que utilizan para hacer previsiones de las variables de interés. Normalmente tomamos la forma del PLM que corresponde a la REE de interés. Así, en el caso que nos ocupa, tomamos el PLM como sea de la forma

(2.2), pt = a+b

wt1+t . F

Para a = ¯a y b = ¯b, el PLM sería el REE, pero permitimos la posibilidad de que los agentes tengan expectativas "no racionales". Para cualquier valor dado de a y b, la previsión adecuada en el tiempo (t 1) de pt viene dada por pe t = a +b de pt viene dada por pe t = a +b wt1. (2.5)

Insertando la ecuación (2.5) en la ecuación (2.1), se puede resolver la ley real de movimiento, o ALM, implícita en la PLM:

pt = (+a)+( +b)

wt1 +t . (2.6)

Esto define implícitamente el mapeo del PLM al ALM

(2.7)

$$ T \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} \mu+\alpha a \\ \delta + \alpha b \\ \end{pmatrix} $$

La interpretación del ALM es que describe el proceso estocástico seguido por la economía si las previsiones se hacen bajo la regla fija dada por la PLM. Ahora podemos definir la estabilidad E en la forma adecuada para determinar la estabilidad de la REE bajo el aprendizaje por mínimos cuadrados. Obsérvese en primer lugar que el REE único para nuestro modelo es el punto fijo único del mapa T (2.7). Consideremos la ecuación diferencial ecuación

(2.8)

$$ \frac{d}{d \tau} \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} = T \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \\ \end{pmatrix} $$ (2.8)

donde denota el tiempo "nocional" o "artificial". Decimos que el REE es expectantemente estable, o E-estable, si el REE es localmente estable asintóticamente bajo ecuación (2.8). Intuitivamente, la estabilidad E determina la estabilidad de la REE bajo una regla de aprendizaje estilizada en la que los parámetros a y b del PLM se ajustan lentamente en la dirección de los parámetros ALM implícitos. El REE ( ¯ a, ¯b

) es estable en E si pequeños desplazamientos de ( ¯ a, ¯b

) se devuelven a ( ¯ a, ¯b

) bajo esta regla. La estabilidad de las expectativas en esta forma se introdujo en Evans (1989) y Evans y Honkapohja (1992). La noción, estrechamente relacionada, de estabilidad iterativa de las expectativas que apareció anteriormente en la literatura, se discutirá más adelante. Para determinar la estabilidad E en nuestro ejemplo, combine las ecuaciones (2.7) y (2.8) y escribir la ecuación diferencial componente por componente para obtener

$$ \frac{da}{d \tau} = \mu+ (\alpha - 1)a $$

$$ \frac{db_i}{d \tau} = \delta_i + (\alpha - 1)b_i $$

donde n es la dimensión de w. Se deduce que la REE es estable en E si y sólo si <1. Nótese que ésta es precisamente la condición obtenida por Bray y Savin para convergencia del aprendizaje por mínimos cuadrados. La conexión entre la estabilidad E y la convergencia del aprendizaje por mínimos cuadrados resulta ser bastante general, aplicándose en una gama muy amplia de modelos. Esto es una gran ventaja, ya que las condiciones de estabilidad E suelen ser fáciles de elaborar mientras que el análisis técnico de la convergencia del aprendizaje econométrico es es sustancialmente más complicado.

Answer 1

Son muchas preguntas. Vale, pues vayamos paso a paso:

(P1) ¿Qué es realmente una cartografía?

A mapa es sólo otro término para una función. Aquí, cada "ley de movimiento", la real (ALM) y la percibida (PLM), se caracteriza por sus parámetros $a$ y $b$ . El ALM depende del PLM, y la función que asigna los parámetros del PLM a los parámetros del ALM viene dada por $T(.)$ en (2.7).

(P2) ¿Por qué la única solución de expectativas racionales es el único punto fijo de la $T$ -¿Mapa?

Si las expectativas son racionales, es decir, en un REE, la PLM es idéntica a la ALM, denotémoslas por $\begin{pmatrix} a^* \\ b^* \end{pmatrix}$ . Esto significa que $T \begin{pmatrix} a^* \\ b^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^* \\ b^* \end{pmatrix}$ . Así, $\begin{pmatrix} a^* \\ b^* \end{pmatrix}$ es un punto fijo de $T$ .

(P3) ¿Qué significa intuitivamente esta fórmula [es decir, (2.8)]?

Si se empieza con un PLM que no es idéntico al ALM, se "aprende" la verdadera ley del movimiento con el tiempo $\tau$ . Es decir, usted ajusta lentamente los parámetros de su PLM en la dirección de los del ALM actual. En el espacio de los parámetros, esto significa que su punto de parámetro $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ se mueve hacia el ALM actual, que viene dado por $T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ . Así, la dirección del movimiento (es decir, el vector de velocidad $\frac{d}{d\tau}\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ ) en el espacio de los parámetros viene dado por el vector $T \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ . La ecuación (2.8) sólo lo indica formalmente; es la dinámica de aprendizaje de los parámetros.

(Q4): ¿Qué significan estas derivaciones: da/dtau?

$\frac{da}{d\tau}$ es sólo la velocidad del parámetro $a(\tau)$ en el espacio de estado mientras se aprende.

(P5): ¿Cómo se define que la solución de expectativas racionales es estable?

Definen Estabilidad E de la REE como estabilidad asintótica local de la REE bajo la dinámica de aprendizaje (2.8) .

(Q6): Dicen: Se deduce que el REE es E-estable si y sólo si α <1. ¿Cómo se puede ver eso?

En general, un punto fijo $X^*$ de una dinámica de la forma $\frac{d}{d\tau}X(\tau)=F(X(\tau))$ es localmente estable asintóticamente si la linealización de la dinámica (es decir, la matriz jacobiana) en $X^*$ tiene todos los valores propios con parte real negativa. En el caso dado por (2.7) y (2.8), la matriz jacobiana es una matriz diagonal simple con elementos diagonales $\alpha-1$ que, por tanto, son también los valores propios. Estos son negativos si y sólo si $\alpha < 1$ .

Intuitivamente, cada componente del sistema de ecuaciones diferenciales tiene la forma $\frac{dx}{d\tau} = f(x)-x$ . Se trata de una simple dinámica unidimensional: Un punto fijo $x^*$ es localmente estable asintóticamente si $x(\tau)$ cae ( $\frac{dx}{d\tau} < 0$ es decir $f(x)<x$ ) cuando está por encima de $x^*$ y aumenta ( $\frac{dx}{d\tau} > 0$ es decir $f(x)>x$ ) si está por debajo de $x^*$ . Esto sólo significa que en el punto fijo $x^*$ , $f(x)$ es localmente decreciente en $x$ es decir, su pendiente es negativa. En el caso que nos ocupa, para cada componente esta pendiente es $\alpha - 1$ Así que el hecho de que la pendiente sea negativa significa que $\alpha < 1$ .