Derivar la estructura demográfica en el estado estacionario

Question

Estoy leyendo un papel con la siguiente descripción sobre la demografía en su modelo: "... cada agente (representativo) vive durante $T$ períodos ... Suponemos que cada individuo tiene $e^{f}$ niños a la edad $B$ . Como sólo consideramos estados estables, necesitamos derivar la distribución estacionaria de la edad de esta economía asociada a esta tasa de fertilidad. Nuestros supuestos implican $N(a, t)=e^{f} N(B, t-a)$ y $N\left(t^{\prime}, t\right)=0, t^{\prime}>T$ . Es fácil comprobar que en el estado estacionario $N(a, t)=\phi(a) e^{\eta t}$ , donde $\phi(a)=\eta \frac{e^{-\eta a}}{1-e^{-\eta T}}$ y $\eta=f / B$ es la tasa de crecimiento de la población".

No tengo ni idea de cómo se calcula este estado estacionario.

Answer 1

No conozco el papel ni la notación, así que sólo estoy adivinando. Supongo que $N(a,t)$ es el número de agentes de edad $a$ en el período de tiempo $t$ .

Sigamos el número de edad $B$ a través de las generaciones: $$ \begin{align*} N(B,t) &= e^f N(B, t- B),\\ &= e^{2f} N(B, t - 2 B),\\ &= \ldots,\\ &= e^{f t/B} N(B,0),\\ &= e^{\eta t} N(B, 0). \end{align*} $$ Entonces, utilizando esto en la definición de $N(a,t)$ tenemos: $$ N(a,t) = e^f N(B, t- a) = e^f e^{\eta(t - a)}N(B,0). $$ A continuación, asumo que en el periodo $0$ hay una masa de tamaño 1 pero nadie vive más que $T$ periodos, por lo que se integra en todas las edades: $$ \begin{align*} &\int_0^T N(a,0) da = 1,\\ \to &\int_0^T e^f e^{-\eta\, a}N(B,0) da = 1,\\ \to &e^f N(B,0) \left[-\frac{e^{-\eta a}}{\eta}\right]^T_0 = 1,\\ \to &e^f N(B, 0) \left[1 -e^{-\eta T}\right] = \eta,\\ \to &e^f N(B, 0) = \frac{\eta }{1 - e^{-\eta T}} \end{align*} $$ Por lo tanto, la subsunción en la expresión de $N(a,t)$ da: $$ N(a,t) = \eta\frac{e^{-\eta a}}{1 - e^{-\eta T}} e^{\eta t} $$