¿Por qué la volatilidad de los activos es más fácil de estimar que la media de los activos si contiene la media?

Question

Es bien sabido que la varianza de los rendimientos de los activos, $\sigma^2$ (cuya root cuadrada es la volatilidad), es más fácil de estimar que la media del activo $\mu$ (también conocido como rendimiento esperado) porque la media de los rendimientos de los activos es muy difícil de estimar.

¿Por qué es así, dado que el propio estimador muestral de la volatilidad contiene el estimador muestral de la media del activo en su fórmula?

$$\hat{\sigma} = \sqrt{\sum_{i=1}^n \frac{(x_i-\hat{\mu})^2}{n-1}}$$

¿No debería el error de estimación de $\hat{\mu}$ se filtran en el error de estimación de $\hat{\sigma}$ ? Si no es así, ¿por qué no lo hace?

Answer 1

Permítanme añadir dos puntos a la respuesta de Quantoisseur.

Errores estándar

La diferencia entre estimar las varianzas y las medias es que el error estándar del estimador de la varianza depende de la tamaño de la muestra (número de observaciones), mientras que el error estándar de la media depende del longitud (o duración ) de la muestra, véase aquí . Así, si se utilizan puntos de datos cada vez más finos (hasta los datos de alta frecuencia), suele mejorar la precisión del estimador de la varianza (véase, por ejemplo, variación realizada ) pero no la precisión del estimador de la media. Para esto último, hay que ampliar la muestra de estimación (horizonte temporal) en su conjunto.

Autocorrelación

Hablemos de condicional media y varianza. Observe los gráficos de autocorrelación de los rendimientos de IBM que aparecen a continuación. Como puede ver, los propios rendimientos apenas muestran una autocorrelación significativa. Por lo tanto, no se pueden utilizar los datos históricos para predecir los rendimientos esperados en el futuro. Sin embargo, los rendimientos al cuadrado (que representan la varianza no observable) muestran una autocorrelación significativa. Por lo tanto, los rendimientos históricos al cuadrado contienen cierta información sobre las varianzas condicionales futuras. Por eso funcionan los modelos GARCH: los rendimientos al cuadrado están autocorrelacionados. Recordemos que $\mathrm{Var}[R]=\mathrm{E}[R^2]-\mathrm{E}[R]^2\approx \mathrm{E}[R^2]$ .

Impacto de la media en la estimación de la varianza

Mi primer punto con el error estándar es que no podemos estimar la media de una serie temporal de rendimientos con precisión. Puede ser del 1% o del 3% o del -2% (¡a menudo ni siquiera podemos estar seguros del signo!). Todo es muy posible. Pero, ¿importa la varianza? Por definición, $\mathrm{Var}[R]=\mathrm{E}[(R-\mathrm{E}[R])^2]=\mathrm{E}[R^2]-\mathrm{E}[R]^2$ . Ahora bien, si se eleva al cuadrado 0,01, 0,03 o -0,02, se obtienen cifras insignificantes. Así que, a pesar de tener errores estándar potencialmente enormes en la estimación de la media (el 3% es algo así como el triple de grande que el 1%), no tiene realmente impacto en la estimación de la varianza porque la varianza trata con cantidades al cuadrado y los rendimientos son suficientemente cercanos a cero.

Answer 2

La respuesta no es estadística. En casi todas las demás áreas de la estadística, la estimación de la media es más fácil ( es decir puede estimarse con mayor precisión) y la estimación de momentos superiores como la varianza (y por tanto la volatilidad), la asimetría, la curtosis, etc. es más difícil, a veces mucho más difícil.

Los puntos clave que diferencian las estadísticas financieras (o la econometría financiera, si lo prefiere) son la eficiencia del mercado y la competencia.

Eficiencia del mercado

Un mercado eficiente es uno en el que todos los precios son justos: no se pueden encontrar precios que sean claramente erróneos a la luz del riesgo.

¿Cómo se vuelven eficientes los mercados? Supongamos que conocía una acción subía. Se compraban las acciones hasta que no se esperaba que se ganara dinero con ello. Lo mismo ocurre con la venta de una acción que conocía se caería. Si su información no estuviera garantizada, aún podría asumir algún riesgo comprando o vendiendo (aunque quizá menos). Por lo tanto, su negociación también está condicionada por la incertidumbre.

Concurso

Usted no es la única persona que intenta ganar dinero; otras personas también están siempre buscando información que les ayude a ganar dinero. Si dos o más personas se enteran de una información, la primera que opere y mueva los precios ganará dinero, mientras que la última no ganará nada. Esto hace que la gente compita por ser la primera en operar con la información. Sobre todas las personas del mercado, eso significa que los precios incorporan rápidamente la nueva información.

Aparte de los momentos en los que la gente recibe nueva información, los precios son feria Cuando llega una nueva información, la gente la utiliza para ganar dinero, lo que cambia los precios... hasta que los precios vuelvan a subir. Cuando llega nueva información, la gente comercia con ella para ganar dinero, lo que cambia los precios... hasta que éstos vuelven a ser justos. La competencia hace que los precios del mercado sean justos y los precios justos hacen que el mercado sea eficiente.

Predicción de la media

El resultado es que predecir el movimiento de una acción es difícil, especialmente la mayoría de las veces cuando se carece de información. Además, pensamos que los precios se ajustan rápidamente a la nueva información, por lo que la mayoría de las veces no sabemos hacia dónde irán los precios.

Seguro que esperas obtener un rendimiento al menos tan bueno como el tipo sin riesgo, pero ¿cuánto más? Eso es difícil de determinar. Si no fuera difícil de determinar, se volvería a operar hasta que los precios fueran justos.

En conjunto, estas realidades económicas tienen dos implicaciones. En primer lugar, predecir la rentabilidad media de una acción es difícil. Si no fuera así, negociar y ganar dinero sería fácil. En segundo lugar, adivinar cuándo se moverá mucho una acción es aún más difícil; de ahí que la mayoría de los inversores digan que es más fácil simplemente mantener una acción durante un largo periodo de tiempo y (con suerte) beneficiarse de esos cambios en lugar de intentar cronometrarlos.

Volatilidad

Así que ahora podemos entender por qué es difícil predecir la rentabilidad media. No es tanto que la predicción de la volatilidad sea fácil, sino que la predicción de la volatilidad es más fácil que la predicción de la media de los rendimientos de los activos.

Llegados a este punto, usted podría decir "pero entonces, ¿por qué no puedo ganar dinero fácil operando con el VIX?" (u otros instrumentos relacionados con la volatilidad). La competencia y la eficiencia del mercado vuelven a dificultar esa posibilidad: esas fuerzas mantienen el VIX y otros instrumentos relacionados con la volatilidad a un precio justo. Eso nos ayuda a hacer mejores estimaciones de la volatilidad durante largos periodos de tiempo: horas, días, meses, etc.

Sin embargo, si tratas de predecir el VIX en minutos y operar en base a eso... probablemente lo encontrarías tan difícil como predecir los rendimientos de las acciones.

Answer 3

Una respuesta más sencilla es la siguiente. Existen valores históricos conocidos del año pasado para la media. Es simplemente el valor de final de año dividido por el valor inicial.

Sin embargo, no podemos mejorar la estimación de la media mirando, por ejemplo, los rendimientos diarios y agregándolos hasta 250 días de negociación para hacer una mejor estimación de la media (rendimiento): simplemente acabará siendo esos dos valores divididos.

Sin embargo, con la varianza (o stdev) PODEMOS mirar los valores semanales y promediarlos para obtener una mejor lectura del valor que la que podemos obtener mirando los datos mensuales, etc.

Answer 4

Las fórmulas de la varianza y la desviación estándar (volatilidad) de la muestra son:

Si su pregunta es por qué la volatilidad es más fácil de predecir que los rendimientos, la respuesta intuitiva es porque el numerador está elevado al cuadrado y, por tanto, sólo tiene valores positivos. Esto simplifica el problema, ya que ahora no tengo que preocuparme de predecir el signo de la rentabilidad, sólo el tamaño.

Answer 5

De hecho, una forma estándar de estimar la volatilidad no utiliza la media en absoluto (la media se pone a cero en la fórmula), porque, como se señala en la respuesta de @Kevin, realmente no hace ninguna diferencia, por lo que la premisa de la pregunta es un poco confusa. Hay que tener en cuenta que la rentabilidad media del mercado es extremadamente robusta (y muy cercana a la constante, en torno a 4 puntos básicos por día) a lo largo de períodos muy largos (es decir, varias décadas), por lo que la respuesta a la pregunta depende del horizonte temporal que se considere.