quanto a los ajustes

Question

Aquí está quanto adjustments en el libro de John Hull Options, Futures and Other Derivatives 9th page 699.

Sé que tenemos $$E_X[V] = E_Y[VW].$$ Y, $V$ y $W$ debe ser a la vez martingala bajo $Y$ -por lo que simplemente escribimos $$\dfrac{dV}{V} = \sigma_V d W_V$$ $$\dfrac{dW}{W} = \sigma_W d W_W$$ $$d W_Vd W_W = \rho d t$$ Pero cómo podemos obtener el resultado final en el libro $$E_X[V] = E_Y[V]e^{\rho \sigma_V\sigma_W T}.$$ Parece que no es el mismo resultado que dos log-normales?

Answer 1

Creo que la dinámica para $V$ , bajo $Y$ no es el formulario que usted proporcionó. En particular, un cambio de medida cambiará la deriva de $V$ . En concreto, la dinámica de $V$ suele ser de la forma \begin{align*} \frac{dV}{V} = -\sigma_V\sigma_W \rho dt + \sigma_V d W_V. \end{align*} Ahora puedes comprobar que el resultado final se mantiene.

Anexo

Suponemos que, bajo $X$ , $V$ satisface una SDE de la forma \begin{align*} \frac{dV}{V} = \sigma_V d \widetilde{W}_V. \end{align*} Además, la derivada de Radon-Nikodym $\eta = \frac{dY}{dX}$ satisface \begin{align*} \frac{d\eta}{\eta} = \sigma_W d \widetilde{W}_W, \end{align*} donde $d\langle \widetilde{W}_V, \widetilde{W}_W\rangle = \tilde{\rho} dt$ . Entonces, por descomposición de Cholesky, \begin{align*} \frac{d\eta}{\eta} = \sigma_W d \left(\tilde{\rho}\widetilde{W}_V+ \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} \widetilde{B}_W\right). \end{align*} donde $\widetilde{W}_V$ y $\widetilde{B}_W$ son dos movimientos brownianos estándar independientes. Además, por la transformación de Girsanov, \begin{align*} W_V &= \widetilde{W}_V - \sigma_W \tilde{\rho} t\, \mbox{ and}\\ B_W &= \widetilde{B}_W - \sigma_W \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} t \end{align*} son dos movimientos brownianos estándar bajo $Y$ . Sea $W= \eta^{-1} = \left(\frac{dY}{dX}\right)^{-1}$ . Entonces, bajo $Y$ , \begin{align*} \frac{dV}{V} &= \sigma_V\sigma_W\tilde{\rho} dt +\sigma_V d W_V,\\ \frac{dW}{W} &=\eta d\left(\frac{1}{\eta}\right)\\ &= -\frac{d\eta}{\eta}+\frac{1}{\eta^2} d\langle \eta,\eta\rangle\\ &=\sigma_W^2 dt -\sigma_W d \left(\tilde{\rho}\widetilde{W}_V+ \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} \widetilde{B}_W\right)\\ &=-\sigma_W d \left(\tilde{\rho}W_V+ \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} B_W\right). \end{align*} Dejemos que $\rho=-\tilde{\rho}$ y $W_W=\tilde{\rho}W_V+ \sqrt{1-\tilde{\rho}^2} B_W$ . Entonces, bajo $Y$ , \begin{align*} \frac{dV}{V} &= -\sigma_V\sigma_W\rho dt +\sigma_V d W_V,\\ \frac{dW}{W} &=\sigma_W d W_W, \end{align*} donde $d\langle W_V, W_W\rangle_t = \rho dt.$ Además, \begin{align*} E_X(V) &= E_Y\left(\frac{dX}{dY} V \right)\\ &=E_Y\left(\left(\frac{dY}{dX}\right)^{-1} V \right)\\ &=E_Y(VW). \end{align*}