Información de fondo:
El proceso $W = (W_t:t\geq 0)$ es un $\mathbb{P}$ -Movimiento browniano si y sólo si
i) $W_t$ es continua, y $W_0 = 0$
ii) el valor de $W_t$ se distribuye, bajo $\mathbb{P}$ como una variable aleatoria normal $N(0,t)$ ,
iii) el incremento $W_{s+t} - W_{s}$ se distribuye como una normal $N(0,t)$ , bajo $\mathbb{P}$ y es independiente de $\mathcal{F}_s$ la historia de lo que el proceso hizo hasta el momento $s$ .
Pregunta:
Si $W_t$ y $\tilde{W}_t$ son dos movimientos brownianos independientes y $\rho$ es una constante entre $-1$ y $1$ , entonces el proceso $X_t = \rho W_t - \sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_t$ es continua y tiene distribuciones marginales $N(0,t)$ . ¿Es esto $X$ ¿un movimiento browniano?
Se cumplen las dos primeras condiciones. Ahora debemos comprobar si $X_{s+t} - X_s~N(0,t)$ y si $X_{s+t} - X_s$ es independiente de $X_s$ . Un problema que tengo aquí es qué es $X_{s+t}$ ¿se trataría de $X_{s+t}= \rho W_{s+t} + \sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_{s+t}$ y si es así es $W_{s+t}$ y $\tilde{W}_{s+t}$ dos movimientos brownianos independientes?
Actualizado - Tenemos \begin{align*} X_{s+t} - X_{s} &= \rho W_{s+t} + \sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_{s+t} - \rho W_s + \sqrt{1-\rho^2}\tilde{W}_s\\ &= \rho(W_{s+t} - W_s) - \sqrt{1-\rho^2}(\tilde{W}_{s+t} - \tilde{W}_s)\\ &\sim N(0,t) \end{align*} Desde $W_{s+t} - W{s}\sim N(0,t)$ y $\tilde{W}_{s+t}-\tilde{W}_s\sim N(0,t)$ . Ahora tenemos que comprobar si $X_{s+t} - X{s}$ es independiente de $X_{s}$ . Para ello podemos comprobar si la expectativa del producto es igual al producto de las expectativas.
Podemos mostrar $$E\left[(X_{s+t}-X_{s})X_{s}\right]=E[X_{s+t}X_s]-E[X_s^2]=\text{Cov}(X_{t+s},X_s)-\text{Var}(X_s)=s-s=0$$ Por lo tanto, $X$ es un movimiento browniano.
