Transformación para reducir la desviación estándar sin cambiar la mediana

Question

Considere algunas series temporales de retorno con sesgo negativo y alta curtosis $X_t$ . No conozco la forma funcional del pdf de $X_t$ y tienen unos 150.000 puntos de datos.

Supongamos que se crea un $X_t$ llamado $X_t^a$ donde la media, la mediana, el sesgo y la curtosis siguen siendo aproximadamente los mismos que los de la serie original, y la única diferencia principal es que $\sigma (X_t) = 2*\sigma (X_t^a)$ .

¿Qué es una transformación adecuada? Lo he intentado:

$$ X_t^a := (X_t - E[X_t])*0.5\frac{\sigma(X_t)}{\sigma(X_t)} + E[X_t] \\ = Z*0.5\sigma(X_t) + E[X_t] \sim N(E[X_t],(0.5\sigma(X_t))^2)$$ $$Z \sim N(0,1)$$

pero esto reduce severamente la mediana positiva hacia cero que no es lo que quiero (quiero mantener $\text{median}(X_t)$ aproximadamente igual a $\text{median}(X_t^a)$ ).

Answer 1

No es posible con una simple transformación lineal como la que mencionas: dado que la escala y, por tanto, la distancia entre la media y la mediana deben cambiar, no se conservará ni la media ni la mediana. Por lo tanto, hay que utilizar transformaciones no lineales, lo que complicará bastante el mantenimiento de la inclinación y la curtosis y, en cualquier caso, no tendrá sentido (las distorsiones necesarias para mantener las estadísticas harán más daño que bien a la PDF empírica).

Disculpe si le sugiero que cuestione los requisitos: ¿por qué quiere que se conserven tanto la media como la mediana? Estas estadísticas no tienen mucho valor intrínseco más allá de proporcionar estimaciones de localización (pero no la misma localización: ¡incluso con el conocimiento completo del PDF serían diferentes! aún así uno podría convertir una de ellas en el otro tipo), forzar tal relación entre las dos suena como una receta para los problemas. Una alternativa sería definir una estadística de localización como una media de las dos y mantener esa constante en una simple transformación lineal. O incluso mejor, utilizar una estadística de localización más robusta en lugar de ambas.

Answer 2

Como dice Quartz, es posible realizar transformaciones no lineales teniendo en cuenta la asimetría y la curtosis, pero esto se limita sobre todo a los procesos univariantes (un enfoque para una distribución t es igualar los momentos). En el caso de los procesos multivariantes, es bastante más difícil. Una solución más general es basarse en Agrupación de la entropía . Podría tomar vistas tanto de la mediana como de la varianza del proceso en un escenario univariante o multivariante. Tenga cuidado de comprobar el número efectivo de escenarios después en caso de que haya tomado inadvertidamente una vista extrema (poco probable si se fija la mediana y se reduce la desviación estándar, pero posible si se hace la desviación estándar suficientemente grande).