¿Cómo calcular la elasticidad de sustitución en el mercado laboral de negros y blancos utilizando grupos de experiencia-educación?

Question

Estoy leyendo "Competition in the Promised Land - Black Migrants in Northern Cities and Labor Markets", de Leah Boustan, y estoy tratando de entender su cálculo de la elasticidad de sustitución de blancos y negros en el mercado laboral

Utiliza una función Cobb-Douglas:

$$Y=AL^{\alpha}K^{1-\alpha}$$

y luego define el trabajo agregado como

$$L=\left(\sum_{e=1}^{n} \left(L_{e} \theta_{e}\right)^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}$$

trabajo agregado por grupo educativo como:

$$L_{e}=\left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\\1 \leq x \leq m}} \left(L_{ex} \theta_{ex}\right)^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}}$$

y la mano de obra agregada por experiencia y grupo educativo por:

$$\left(\left(L_{exb} \theta_{exb}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \left(L_{exw} \theta_{exw}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}} $$

A continuación, deriva la función de producción relativa a $L_{exr}$ (donde $r=w,b$ ) y se obtiene:

$$ln w_{exr}=ln(A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{(1-\alpha)}{\alpha}})+\frac{1}{\delta}\cdot ln(L)+ln\theta_{e}-(\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\eta})\cdot ln(L_{e})+ln\theta_{ex}-(\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\delta})\cdot ln(L_{ex})+ln\theta_{e_{exr}}-\frac{1}{\delta}\cdot ln(L_{exr})$$

No sé cómo llegar a esta expresión. He pensado que lo que necesito es simplemente 1) sustituir los términos L hacia atrás, 2) tomar la derivada y 3) aplicar el logaritmo. La sustitución da:

$$A K^{1 - \alpha} \left(\left(\sum_{e=1}^{n} \left(\theta_{e} \left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\\1 \leq x \leq m}} \left(\theta_{ex} \left(\left(L_{exb} \theta_{exb}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \left(L_{exw} \theta_{exw}\right)^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}}\right)^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}}\right)^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}\right)^{\alpha} $$

Pero la derivada de esta expresión relativa, por ejemplo, a $L_{exb}$ es una ecuación muy diferente a la expresión mostrada por el autor (incluso después del registro).

Debo estar cometiendo un error muy tonto, pero ¿cómo puedo obtener la expresión deseada a partir de las ecuaciones de L? ¿Hay algún libro de texto donde pueda encontrar una discusión sobre la elasticidad de sustitución entre grupos demográficos?

EDITAR: La versión en papel de esta parte del libro se puede encontrar aquí . En mi investigación observé que el trabajo de Boustan se basa en Ottaviano (2006), y Card y Lemieux (2001).

Aquí es un cuaderno jupyter con las ecuaciones

Answer 1

No quiero ser grosero pero la única ecuación que has copiado correctamente es la función de producción Cobb-Douglas aumentada de productividad.

La ecuación 2 es la ecuación 2 de Ottaviano, Peri (2008) (en la página 8) dice:

$$L=\left(\sum_{e=1}^{n} \theta_{e}L_{e}^{\frac{\delta - 1}{\delta}}\right)^{\frac{\delta}{\delta - 1}}$$ .

En las restantes ecuaciones $\theta$ no está bajo el exponente también:

$$L_{e}=\left(\sum_{\substack{1 \leq e \leq n\\1 \leq x \leq m}} \theta_{ex} L_{ex} ^{\frac{\eta - 1}{\eta}}\right)^{\frac{\eta}{\eta - 1}}$$

Es el equivalente a la ecuación 3 de Ottaviano, Peri (2008) en la página 9 y

$$\left(\theta_{exb} L_{exb}^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}} + \theta_{exw} L_{exw} ^{\frac{\sigma - 1}{\sigma}}\right)^{\frac{\sigma}{\sigma - 1}} $$

Es el equivalente a la ecuación 4 de Ottaviano, Peri (2008) en la página 9 y

la expresión del logaritmo del salario es la ecuación 2 de la página 11 de Boustan(2008):

$$ln w_{exr}=ln(A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{(1-\alpha)}{\alpha}})+\frac{1}{\delta}\cdot ln(L)+ln\theta_{e}-(\frac{1}{\delta}-\frac{1}{\eta})\cdot ln(L_{e})+ln\theta_{ex}-(\frac{1}{\eta}-\frac{1}{\sigma})\cdot ln(L_{ex})+ln\theta_{e_{exr}}-\frac{1}{\sigma}\cdot ln(L_{exr})$$

Con las expresiones correctas es todo álgebra aburrida:

Fn. 29 en la página 11 dice:

Siguiendo a Ottaviano y Peri (2006), primero expreso la producción como una función de la relación capital-producto ( = K/Y)

Así tenemos:

$Y=AK^{1-\alpha}L^{\alpha} \Leftrightarrow Y=A\big(\frac{K}{Y}\big)^{1-\alpha}L^{\alpha}Y^{1-\alpha} \Leftrightarrow \\Y^{\alpha}=Ak^{1-\alpha}L^{\alpha}\Leftrightarrow Y=A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}L$

Observe que:

$$W = x^{\frac{\zeta}{\zeta-1}} \Leftrightarrow \frac{\partial W}{\partial L_{exr}} = \frac{\zeta}{\zeta-1}x^{\frac{1}{\zeta-1}}\frac{\partial x}{\partial L_{exr}} =\frac{\zeta}{\zeta-1}W^{\frac{1}{\zeta}}\frac{\partial x}{\partial L_{exr}} (*)$$

$\omega_{exr} = \frac{\partial Y}{\partial L_{exr}} = A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}\big(\sum_{e=1}^n\theta_eL_e^{\frac{\delta-1}{\delta}}\big)^{\frac{1}{\delta-1}}\theta_eL_e^{\frac{-1}{\delta}}\frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= A^{\frac{1}{\alpha}}k^{\frac{1-\alpha}{\alpha}}\theta_e\frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}}L^{\frac{1}{\delta}}L_e^{\frac{-1}{\delta}}(1)$

$\frac{\partial L_e}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= \theta_{ex}\frac{\partial L_{ex}}{\partial L_{exr}}L_e^{\frac{1}{\eta}}L_{ex}^{\frac{-1}{\eta}} (2)$

$\frac{\partial L_{ex}}{\partial L_{exr}} \overset{(*)}= \theta_{exr}L_{ex}^{\frac{1}{\sigma}}L_{exr}^{\frac{-1}{\sigma}} (3)$

Introduce (2) y (3) en (1), toma los registros y obtendrás el resultado.

NOTA No entiendo muy bien por qué el derivado de $k = \frac{K}{Y}$ wrt L no se toma aquí.