Las distribuciones reales con las que estoy tratando no son uniformes, sino que a para simplificar, consideremos dos distribuciones uniformes, una en [1, 2] y la otra en [0,2]. ¿Podemos decir que la primera FOSDs la segunda? Además, si tenemos una multitud de distribuciones (supongamos que uniformes todavía) en [b, 2], ¿podemos decir que su FOSD aumenta con b? Si no es así, ¿qué concepto capta esa propiedad?
Respuestas
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henrikpp
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Dejemos que $X_b$ una variable aleatoria distribuida uniformemente en $[b,2]$ con $b<2$ . Para cada $x\in\mathbb{R}$ , $$\mathbb{P}[X_b\geq x]=\begin{cases} 0\text{ if }x>2\\ \frac{2-x}{2-b}\text{ if } b\leq x\leq 2\\ 1\text{ if }x<b. \end{cases} $$ Evidentemente, esta probabilidad aumenta en $b$ . Así que $b>b'$ implica que $X_b$ de primer orden domina estocásticamente $X_{b'}$ para $b$ y $b'$ ambos más pequeños que $2$ .
GrZeCh
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No está muy claro lo que quiere decir con "funciones de distribución que pertenecen a la misma clase". Considere una variable aleatoria $\widehat X$ con una distribución arbitraria en algún soporte $[\underline x,\overline x]$ . A continuación, podemos normalizar el apoyo a $[0,1]$ mirando a $X=\frac{\widehat X-\underline x}{\overline x-\underline x}$ y que $F$ sea la correspondiente fdc. ¿Quieres ver si la variable aleatoria condicional $X\geq b$ FOSD $X$ ? La respuesta es sí.
Podemos expresar la fdc de $X\geq b$ como $\frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)}$ para todos $x \in [b,1]$ .
Entonces tenemos, $$F(x) \geq \frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)} \quad \forall x \in [b,1] \mbox{ and } \forall b \in (0,1),$$ y, además, tenemos $$\frac{F(x)-F(b')}{1-F(b')} \geq \frac{F(x)-F(b)}{1-F(b)} \quad \forall x \in [b,1] \mbox{ if } b>b' .$$
Por lo tanto, la distribución (o variable aleatoria) con algún $b$ FOSD la distribución con un menor $b'< b$ .
