Solución estocástica (media, varianza) para la deriva lognormal y la volatilidad normal

Question

Tengo problemas para derivar las ecuaciones de estado para una mezcla de diferencial estocástico normal/lognormal, concretamente para su a) media esperada, b) varianza y c) ajuste de deriva para el modelo LMM - libor

Tengo esta ecuación : df = u * F * dt + sigma * dW(F)

Estoy teniendo problemas para obtener la media esperada, la varianza y su ecuación diferencial estocástica final de la forma : F(T) = F(0) * exp(...)

Por ejemplo, dada la forma geométrica df = u * F * dt + sigma * F * dW(F)

Conozco el

media esperada =

varianza esperada =

Por ejemplo la forma aritmética, dado df = u * dt + sigma * dW(F)

media esperada = u * t

varianza esperada = sigma * T

Pero me estoy quedando perplejo con la ecuación que es una mezcla de las dos.

Answer 1

Sólo hay que utilizar el método del factor de integración.

$df=\mu f dt +\sigma dW_t$

Multiplica por el factor de integración:

$e^{-\mu t} df =e^{-\mu t} \mu f dt +\sigma e^{-\mu t} dW_t$

$d\left( e^{-\mu t} f \right)=\sigma e^{-\mu t} dW_t$

Ahora sólo hay que integrar de 0 a T:

$e^{-\mu T}f_T-f_0=\sigma \int_0^T{e^{-\mu t} dW_t}$

Y entonces puedes aislar $f_T$ en el lado izquierdo.

$f_T=f_0 e^{\mu T}+ \sigma \int_0^T{e^{\mu (T-t)} dW_t}$

Y ya ves que es como Ornstein Uhlenbeck con media a largo plazo igual a cero, y sólo hay que buscar la media y la varianza de ese proceso, pero tendrás que sustituir $\mu$ con menos $\mu$ si quiere que la comparación sea más clara.