Significado de los supuestos relativos a la continuidad de los agentes en los modelos económicos

Question

Estoy leyendo un libro de economía papel que contiene un modelo con hogares y bancos. En el modelo, los bancos son propiedad de los hogares. Los autores hacen esta suposición cuando hablan de los hogares (sección 2.2, página 8):

Existe un continuo de hogares neutrales al riesgo denotado por $h \in [0,1]$ ...

Cuando pasan a hablar de los bancos, hacen una suposición similar (sección 2.3, página 9):

Existe un continuo de bancos denotado por $b \in [0,1]$ ...

He visto innumerables trabajos en economía con estos supuestos sobre la continuidad de los agentes. La mayor parte de las veces, me limito a pasar por alto esto, pero no entiendo realmente qué significan estos supuestos, para qué sirven y por qué están ahí en primer lugar. Parece que es algo básico y que nadie lo discute, pero realmente quiero entender el significado y el propósito de este supuesto.

Answer 1

Los modelos económicos suelen tener un número finito de agentes. En estos modelos, los agentes suelen nombrarse utilizando los números enteros positivos (es decir, los "números naturales"): así, el conjunto de agentes es $\{1, 2, ..., n\}$ .

Otros modelos económicos tienen un número infinito de agentes. Por ejemplo, se puede suponer que el número de agentes es igual al número de enteros positivos. En ese caso, el conjunto de agentes es $\mathbb{N}=\{1, 2, ...\}$ . Se dice que tiene una "cardinalidad" (o tamaño) de aleph-null .

Por último, algunos modelos económicos tienen aún más agentes. En los ejemplos que mencionas, cada agente se nombra con un número real en $[0, 1]$ por lo que el conjunto de agentes es el conjunto de números reales en $[0, 1]$ . Se dice que este conjunto tiene cardinalidad aleph-one y se puede demostrar que es "mayor" que el conjunto de los números naturales (en el sentido de "mayor" definido por Cantor).

Por supuesto, esto no es muy realista -- la justificación, presumiblemente, es facilitar las matemáticas. En particular, permite la integración (por ejemplo, para encontrar el consumo total en la economía) en lugar de la suma.