Derivación delta de la llamada europea

Question

Vamos a escribir $S(T) = S_T$ y $S(0) = S_0$ . Queremos calcular $\frac{d}{dS_0}\mathbb{E}[f(S_T)]$ . De una discusión anterior esto es igual a $$\mathbb{E}_{S_0}\left[f(S_T)\frac{g'_{S_0}(S_T)}{g_{S_0}(S_T)}\right]$$ donde $f(S_T) = e^{-rT}(S_T - K)^{+}$ . Tenemos que encontrar $g_{S_0}(S_T)$ la densidad de $S_T$ que viene dado por $$g(x) = \frac{1}{x\sigma\sqrt(T)}\phi\left(\frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)$$ donde $\phi$ es la densidad normal estándar. En mis apuntes dice que a través del álgebra y el cálculo da $$\frac{g'_{S_0}(x)}{g_{S_0}(x)} = \frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{S_0 \sigma^2 T}$$

Estoy un poco confundido pero la mezcla de notación de $g(x)$ y $g_{S_0}(x)$ Quiero mostrar el detalle de esto para convencerme de que esto es cierto a través del "álgebra y el cálculo". Esto no es un ejercicio para la tarea, simplemente no entiendo la notación que no me permite proceder. Se agradece cualquier sugerencia o comentario.

Intento de derivación:

A través de un poco de álgebra pude hacer expandir $g(x)$ :

\begin{align*} g(x) &= \frac{1}{x\sigma\sqrt(T)}\phi\left(\frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\\ &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\left(\frac{ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right)\\ &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right) \end{align*} Así, $$g'(x) = \frac{ \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right)}{2\sqrt{2\pi}\sigma^3 T^{3/2}x^2} - \frac{ \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right)}{\sqrt{2\pi}\sigma\sqrt{T}x^2 } $$

Como puedes ver esto parece estar convirtiéndose en una pesadilla de álgebra. A menos que haya hecho algo mal, no veo cómo vamos a conseguir $$\frac{g'_{S_0}(x)}{g_{S_0}(x)} = \frac{ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{S_0 \sigma^2 T}$$

Answer 1

Se pueden observar dos cuestiones en su derivación. En primer lugar, observamos que \begin{align*} \exp\left(-\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right)\color{red}{\ne} \exp\left(-\frac{r}{2\sigma^2} + \frac{\ln(x/S_0)}{2\sigma^2 T} + \frac{1}{4}\right). \end{align*} En segundo lugar, la derivada (es decir, el delta) es con respecto a $S_0$ en lugar de $x$ . De hecho, para \begin{align*} g(S_0, x) &= \frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\phi\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r - \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\\ &=\frac{1}{x\sigma\sqrt{T}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\left(\frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)^2/2\right), \end{align*} se puede comprobar fácilmente que \begin{align*} \frac{\partial g(S_0, x)}{\partial S_0} &= g(S_0,x)\, \frac{\ln(x/S_0) - (r-\sigma^2/2)T}{S_0\sigma^2T}. \end{align*}