Teorema de unicidad de Rosen: ¿Por qué es cuadrado el jacobiano?

Question

El artículo de Rosen (J. B. Rosen. Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-person games. Econometrica, 33(3):520–534, 1965) presenta una condición para la unicidad del Equilibrio de Nash en un juego de $n$ jugadores. La configuración se describe en detalle de forma sencilla en esta otra publicación de intercambio de economía. Me pregunto por qué es la matriz jacobiana de $g(\mathbf{s},\mathbf{z})$, donde $g(\mathbf{s},\mathbf{z})$ es el pseudogradient de la función $\sigma$, una matriz cuadrada. Si $s \in \mathbb{R}^m$ y hay $n$ jugadores, me parece que la matriz debería ser de $n \times m$ en lugar de $m \times m$. He dejado fuera muchos detalles de la configuración del problema, ya que están cubiertos en la otra publicación; sin embargo, puedo volver a explicar la configuración o proporcionar información adicional si es necesario.

Answer 1

Mientras hay $n$ jugadores, la estrategia de un jugador no es unidimensional. La dimensión total de las estrategias es $m$. Por lo tanto, el vector de estrategias $s$ es de dimensión $m$. $g(s,z)$ también es de dimensión $m, por eso el Jacobiano es de $m \times m$