Esta va a ser una respuesta larga, y no estoy completamente seguro de que vaya a responder a sus preguntas, ya que me voy a centrar principalmente en las derivaciones de las elasticidades de precios propias y cruzadas. La mayoría de las derivaciones también se pueden encontrar en Houthakker (1960), "Preferencias aditivas"
TLDR:
- Si la función de utilidad es separable de forma aditiva y si la cuota de los bienes es pequeña, entonces las elasticidades de los precios propios son proporcionales a las elasticidades de la renta. La relación de las elasticidades de los precios cruzados (para los diferentes bienes) son proporcionales a las elasticidades de la renta.
- Si la función de utilidad indirecta es aditivamente separable, no podría demostrar que la elasticidad del precio propio es proporcional a la elasticidad de la renta. La relación entre las elasticidades de los precios cruzados (entre diferentes bienes) es constante.
- Si tanto la función de utilidad directa como la indirecta son aditivamente separables, entonces las curvas de Engel son lineales.
Separabilidad aditiva
Partamos de una función de utilidad que es aditivamente separable. Para la función de utilidad $u$ escribamos $u_i = \dfrac{\partial u}{\partial x_i}$ y $u_{i,j} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_k}$ . De la aditividad, tenemos que si $i \ne k$ entonces $u_{i,k} = 0$ .
Las siguientes condiciones dan la condición de primer orden y la restricción presupuestaria: $$ u_i = p_i\lambda,\\ \sum_i p_i x_i = \mu $$ Diferenciando con respecto a $p_k$ ( $k \ne i$ ), $p_i$ y $\mu$ da las siguientes 5 condiciones: $$ \begin{align*} &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k}, \tag {1}\\ &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \lambda + p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_i}, \tag{2}\\ &u_{ii} \frac{\partial x_i}{\partial \mu} = p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}, \tag{3}\\ &\sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial p_k} = - x_k, \tag{4}\\ & \sum_i p_i \frac{\partial x_i}{\partial \mu} = 1. \tag{5} \end{align*} $$ Condición $(4)$ y $(5)$ son la agregación de Cournot y Engel. Entonces, sustituyendo $(1)$ y $(2)$ en $(4)$ y $(3)$ en $(5)$ da: $$ \begin{align*} &\sum_i p_i p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k}\frac{1}{u_{ii}} + p_k p_k \frac{\lambda}{u_{kk}} = - x_k,\\ \to &\frac{\partial \lambda}{\partial p_k} \sum_i \frac{(p_i)^2}{u_{ii}} = - x_k - (p_k)^2 \frac{\lambda}{u_{kk}}. \tag{6}\\ &\sum_i p_i p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu} \frac{1}{u_{ii}} = 1,\\ \to & \frac{\partial \lambda}{\partial \mu} \sum_i (p_i)^2 \frac{1}{u_{ii}} = 1. \tag{7} \end{align*} $$ Combinando $(6)$ y $(7)$ junto con $(3)$ da: $$ \begin{align*} \frac{\partial \lambda}{\partial p_k} &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - (p_k)^2 \frac{\lambda}{u_{kk}}\right),\\ &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - \frac{\lambda}{\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}} p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\\ &= \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \end{align*} $$ donde: $$ \chi = \frac{\lambda}{\dfrac{\partial \lambda}{\partial \mu}} $$ que se llama flexibilidad del dinero (según Houthakker).
Sustituyendo esto en $(1)$ y utilizando $(3)$ obtenemos que para $i \ne k$ : $$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} &= \frac{1}{u_{ii}} p_i \frac{\partial \lambda}{\partial p_k},\\ &=\frac{1}{u_{ii}} p_i \frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\left( - x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\\ &= \frac{\partial x_i}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \tag{a} \end{align*} $$ Entonces, desde $(4)$ (y utilizando $(5)$ ) podemos calcular la elasticidad del precio propio: $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k - \sum_{j \ne k} p_j\frac{\partial x_j}{\partial p_k},\\ &= - x_k - \sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_j}{\partial \mu}\left(-x_k - \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\\ &= - x_k + \left(x_k + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right) \left(\sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\\ &= - x_k + \left(x_k + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right)\left(1 - p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right),\\ &= -x_k + x_k - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} + \chi \frac{\partial x_k}{\partial \mu} -\chi p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} \frac{\partial x_k}{\partial \mu},\\ &= \frac{\partial x_k}{\partial \mu} \left(-p_k x_k + \chi\left(1 - p_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu}\right)\right) \end{align*} $$ Dividiendo ambos lados por $x_k$ Podemos expresarlo en términos de elasticidad: $$ \begin{align*} \varepsilon^k_k &= \varepsilon^k_\mu\left(-s_k + \kappa \left(1 - s_k \varepsilon^k_\mu\right) \right),\\ \end{align*} $$ Aquí utilizamos la notación $\varepsilon^k_i$ para el $p_i$ elasticidad de $x_i$ y utilizamos $s_k = \frac{p_k x_k}{\mu}$ para denotar la parte del bien $k$ en el presupuesto. También: $$ \kappa = \left(\frac{\partial \lambda}{\partial \mu}\frac{\mu}{\lambda}\right)^{-1} = \left(\frac{\ln \lambda}{\ln \mu}\right)^{-1} $$ que es la inversa de la elasticidad de la utilidad marginal de la renta.
Si hay muchos bienes, entonces $s_k$ es muy pequeño, así que: $$ \varepsilon^k_k \approx \kappa \varepsilon^k_\mu $$ Así que, efectivamente, las elasticidades de los precios propios son aproximadamente proporcionales a las elasticidades de los ingresos.
Veamos ahora las elasticidades cruzadas de los precios. Escribir $(a)$ en términos de elasticidad da: $$ \varepsilon^i_k = \varepsilon^i_\mu(-s_k - \kappa \varepsilon^k_\mu) $$
Por tanto, las elasticidades cruzadas de los precios son proporcionales a la elasticidad de los ingresos. También para $i, j \ne k$ tenemos: $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = \frac{\varepsilon^i_\mu}{\varepsilon^i_\mu} \tag{A} $$ Por lo tanto, la relación de las elasticidades cruzadas de los precios es igual en todos los bienes.
Utilidad indirecta aditiva
Dejemos que $v$ sea la función de utilidad indirecta, que depende de los precios $p_i$ e ingresos $\mu$ . Al igual que antes, escriba $v_i = \frac{\partial v}{\partial p_i}$ , $v_\mu = \frac{\partial v}{\partial \mu}$ y utilizamos 2 índices para las derivadas de segundo orden. Si $v$ es aditivo, entonces para $i \ne k$ : $v_{i,k} = \frac{\partial^2 v}{\partial p_k \partial p_i} = 0$ .
Partimos de las siguientes ecuaciones (la primera es la identidad de Roy): $$ x_i = -\frac{v_{i}}{v_\mu},\\ \sum_i p_i x_i = \mu. $$ Tomando derivadas con respecto a $p_k$ ( $k \ne i$ ), $p_i$ y $\mu$ da: $$ \begin{align*} &\frac{\partial x_i}{\partial p_k} = \frac{-v_{i,k} v_\mu + v_i v_{\mu,k}}{(v_\mu)^2} = -x_i \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu}, \tag{9} \\ &\frac{\partial x_i}{\partial p_i} = \frac{- v_{ii}v_\mu + v_i v_{\mu, i} }{(v_\mu)^2} = -\frac{v_{ii}}{v_\mu} - x_i\frac{v_{\mu,i}}{v_\mu}, \tag{10}\\ &\frac{\partial x_i}{\partial \mu} = \frac{-v_{i,\mu}v_\mu + v_i v_{\mu,\mu} }{(v_\mu)^2} = -\frac{v_{i,\mu}}{v_\mu} - x_i \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu}, \tag{11}\\ &\sum_j p_j \frac{\partial x_j}{\partial p_k} = - x_k, \tag{12}\\ &\sum_j p_j \frac{\partial x_j}{\partial \mu} = 1. \tag{13} \end{align*} $$ Utilice $(9)$ en $(12)$ : $$ \begin{align*} \sum_j p_j (-x_j) \frac{v_{\mu, k}}{v_\mu} - p_k \frac{v_{kk}}{v_\mu} = -x_k,\\ \to -\mu \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu} = - x_k + p_k \frac{v_{kk}}{v_\mu} \end{align*} $$ Sustituyendo esto en $(9)$ : $$ \begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p_k} &= -x_i \frac{v_{\mu, k}}{v_\mu},\\ &=-x_i \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu} \right) \tag{b} \end{align*} $$ A continuación, utilice $(12)$ de nuevo para calcular el efecto del precio propio: $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k - \sum_{j \ne k} p_j \frac{\partial x_j}{\partial p_k},\\ &= -x_k + \sum_{j \ne k} p_j x_j \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu}\right),\\ &= -x_k + \left(\frac{x_k}{\mu} - \frac{p_k}{\mu} \frac{v_{kk}}{v_\mu}\right)(\mu - p_k x_k) \tag{14} \end{align*} $$ La última línea se desprende de la restricción presupuestaria: $\mu = \sum_j p_j x_j$ .
También de $(10)$ y $(11)$ : $$ \begin{align*} \frac{v_{kk}}{v_\mu} &= -\frac{\partial x_k}{\partial p_k} - x_k \frac{v_{\mu,k}}{v_\mu},\\ &= -\frac{\partial x_k}{\partial p_k} + x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} + (x_k)^2 \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} \tag{c} \end{align*} $$ Sustituyendo esto en $(14)$ : $$ \begin{align*} p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} &= -x_k + \left(x_k - p_k \frac{v_{k,k}}{v_\mu}\right)(1 - s_k),\\ &= -x_k + \left(x_k + p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - p_k (x_k)^2 \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu}\right)(1- s_k),\\ \to p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} s_k &= - x_k + \left(x_k - p_k x_k \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - s_k x_k \mu \frac{v_{\mu, \mu}}{v_\mu} \right) (1 - s_k),\\ \to p_k \frac{\partial x_k}{\partial p_k} & = - \frac{x_k}{s_k} + \frac{1 - s_k}{s_k} \left(x_k - s_k \mu \frac{\partial x_k}{\partial \mu} - x_k s_k \mu \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} \right). \end{align*} $$ Si dividimos ambos lados por $x_k$ Podemos expresarlo en términos de elasticidad: $$ \begin{align*} \varepsilon^k_k &= -\frac{1}{s_k} + \frac{(1-s_k)}{s_k}(1 - s_k \varepsilon^k_\mu - s_k \delta),\\ &= -1 - (1 - s_k)\varepsilon^k_\mu - (1 - s_k)\frac{1}{\kappa}. \tag{14}\\ \end{align*} $$ donde $$ \mu \frac{v_{\mu,\mu}}{v_\mu} = \frac{\partial \ln v_\mu}{\partial \ln \mu} = \frac{\partial \ln \lambda}{\partial \ln \mu} = \frac{1}{\kappa} $$ Expresión $(14)$ da la elasticidad del precio propio
Hay una pequeña diferencia aquí con la derivación de Houthakker, ya que yo tengo un signo menos para el último término, mientras que él tiene un signo '+', por lo que podría haber cometido un error.
Si $s_k$ se hace pequeño tenemos: $$ \varepsilon^k_k = -1 - \varepsilon^k_\mu - \frac{1}{\kappa}. $$ Por lo tanto, aquí no obtenemos realmente que $\varepsilon^k_k$ es proporcional a $\varepsilon^k_\mu$ . Por otro lado, si $1/\kappa$ es muy pequeño entonces en este caso: $$ 1 - \varepsilon^k_k \approx \varepsilon^k_\mu $$ Así que uno menos la elasticidad del precio propio es igual a la elasticidad de la renta.
Para las elasticidades cruzadas de los precios, podemos escribir $(b)$ en términos de elasticidad (y utilizando $(c)$ ): $$ \begin{align*} \varepsilon^i_k &= -\left(s_k - \frac{(p_k)^2}{\mu} \frac{v_{kk}}{v\mu}\right),\\ &= s_k\left(-1 + \varepsilon^{k}_k + s_k \varepsilon^k_\mu + s_k \frac{1}{\kappa}\right) \end{align*} $$ Tomando la proporción para $i, j \ne k$ da: $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = 1. \tag{B} $$
Aditividad directa e indirecta
Veamos qué ocurre si las funciones de utilidad directa e indirecta son separables de forma aditiva, Tomemos $i,j \ne k$ Entonces $(A)$ y $(B)$ dar: $$ \frac{\varepsilon^i_k}{\varepsilon^j_k} = \frac{\varepsilon^i_\mu}{\varepsilon^j_\mu} = 1. $$ Esto demuestra que todas las elasticidades de la renta son iguales. Utilizando $(5)$ en forma de elasticidad, es decir $$ \sum_i s_i \varepsilon^j_\mu = 1, $$ muestra que todas las elasticidades de la renta son iguales a 1, por lo que tenemos curvas de Engel lineales.
