En lugar de utilizar la definición de Wikipedia: $$ {d}(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial t}(X_t,t)\,\mathrm{d}t + \frac{\partial f}{\partial x}(X_t,t) \, \mathrm{d}X_t + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(X_t,t)\sigma_t^2 \, \mathrm{d}t.$$
¿Puedo escribirlo así?
$$ d(f(X_t,t)) = \frac{\partial f}{\partial Xt} \, \mathrm{d}Xt + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 f}{\partial Xt^2} \, \mathrm{d}Xt^2$$
Gracias
Lemma de Ito (como "expansión de Taylor"): Para $X$ un Proceso de Ito y $f = f(t, x) C^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ una función determinista, el proceso estocástico $$Y_t = f(t,X_t)$$ es un proceso Ito y tenemos $$df (t,X_t) = \partial_tf(t,X_t)\,dt + \partial_xf(t,X_t)\,dX_t + \frac{1}{2} \partial_{xx}^2f(t,X_t)(dX_t)^2. $$
Nota: Funciones
$$g(t,x)= \partial_tf(t,x), $$
$$h(t,x) = \partial_xf(t,x), $$
$$k(t,x) = \partial_{xx}^2f(t,x) $$ también son deterministas. Así que:
$$df (t,X_t) = g(t,X_t)\,dt + h(t,X_t)\,dX_t + \frac{1}{2} k(t,X_t)(dX_t)^2. $$
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¿Qué crees que puede estar mal en tu expresión $df = (\cdots) df + (\cdots) (df)^2$ ?
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He editado la ecuación, ¡lo siento!
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¿Y ahora? ¿Es correcto escribir así el lema de Ito?
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No, en realidad es aún más incorrecto :) Si una función depende de dos variables entonces desde el cálculo estándar $df(x,y) = f_x dx + f_y dy$ donde los subíndices denotan diferenciación parcial. El cálculo Ito es una generalización de esto, y la expresión correcta es la que se da en, por ejemplo, wiki.
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Lo he arreglado por segunda vez, estaba oxidado con LaTeX ;)
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Casi, te olvidas de la dependencia de $t$ y si lo incluyes obtienes la fórmula correcta.
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Xt ya depende de t, así que ¿por qué debería añadir un término t? ¿No sería redundante?
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Para limitar el número de comentarios, mi último comentario es: $X_t$ de la dependencia de $t$ es un tipo especial de dependencia. Aparte de eso, volvamos al cálculo básico y consideremos la función $f(t, X(t))$ donde $X(t)$ es una función determinista de $t$ por ejemplo $f(t,X(t)) = t+ cos(t)$ con $X(t) = cos(t)$ ¿Qué sería? $df$ ?
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No puede: por favor, compruebe mi respuesta a esta pregunta .
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Df = -sin(t) dXt + dt ??
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Si f es sólo una función del proceso estocástico $X_t$ entonces sí, no es necesario escribir la derivada del tiempo. Este es el caso cuando se resuelve la SDE de GBM - $\ln X_t$ . Pero si f también es una función de t, habrá que añadir la derivada temporal. Este es el caso cuando se trata, por ejemplo, de opciones europeas de compra y venta.