¿Por qué $\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$ ?

Question

Hice un conjunto de problemas de práctica. Me dieron una función de producción $F(K,L)$ y tuvo que derivar la función de costes de la empresa. Para ello, utilicé la siguiente relación:

\begin{equation} \frac{MP_L}{MP_K}=\frac{w}{r} \end{equation}

Encontré esta fórmula en un conjunto de apuntes de clase en Internet. No tengo ni idea de dónde viene. Entiendo que $MP_K$ , $MP_L$ , $w$ y $r$ son pero no sé por qué estas proporciones son iguales. Tengo el problema correcto, pero quiero entender mejor este punto.

Mi pregunta:

¿Puede alguien explicar por qué es cierta esta proporción?

Answer 1

Este es el resultado de la maximización de la empresa. Consideremos un problema al que se enfrenta una empresa que maximiza sus beneficios: debe alquilar capital, $k$ , a razón de $r$ y contrata mano de obra, $l$ , en el salario $w$ para producir bienes ( $F(k, l)$ ) por el que podemos vender a un precio normalizado de 1.

$$ \max_{k, l} F(k, l) - w l - r k $$

Entonces, si sólo pensamos en la maximización de la empresa, podemos tomar derivados con respecto a $k$ y $l$ para conseguirlo:

$$ F_k(k, l) - r = 0 $$ $$ F_k(k, l) = r $$

y

$$ F_l(k, l) - w = 0 $$ $$ F_l(k, l) = w $$

Obsérvese que por definición $MPL_K = F_k(k, l)$ y $MP_L = F_l(k, l)$ . Si tomamos el cociente de las dos ecuaciones entonces obtenemos lo que introdujiste inicialmente, es decir:

$$ \frac{F_l(k, l)}{F_k(k, l)} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r} $$

Edición: Como se mencionó en otra respuesta, esto está imponiendo algunas suposiciones sobre el comportamiento de $F(k, l)$ . Estos supuestos son $\frac{\partial F}{\partial k} > 0$ , $\frac{\partial F}{\partial l} > 0$ y $\frac{\partial^2 F}{\partial k^2} < 0$ $\frac{\partial^2 F}{\partial l^2} < 0$

Answer 2

Matemáticamente es una condición necesaria en el problema de la maximización de los beneficios y puede derivarse fácilmente bajo los supuestos habituales. Sin embargo, hay una explicación intuitiva.

Se parte de la hipótesis habitual de que la productividad del capital y del trabajo es decreciente (es decir, cada unidad adicional del insumo produce algún producto, pero menos que el anterior), $\frac{\partial^2F}{\partial K^2}<0, \frac{\partial^2F}{\partial KL^2}<0, \frac{\partial F}{\partial K}>0, \frac{\partial F}{\partial K}>0$ ).

Ahora, creemos que la empresa está maximizando el beneficio (otra suposición, mejor acostumbrarse a este tipo de simplificaciones). Entonces, la relación de la derecha representa cuánto producirá una unidad adicional de trabajo en términos de producción de una unidad adicional de capital, mientras que la relación de la izquierda muestra cuánto más le costará la unidad adicional de trabajo en términos de coste de una unidad de capital. Además, fijaré el precio del bien que produce la empresa en 1 sin pérdida de generalidad.

Ahora, si el lado derecho es mayor, puedes disminuir tu trabajo en $\frac{\Delta}{MP_L}$ y aumentar el capital en $\frac{\Delta}{MP_K}$ y su beneficio aumentará en $\frac{w\Delta}{MP_L}-\frac{r\Delta}{MP_K}>0$ por lo que no se ha maximizado. Si el lado izquierdo era mayor, se disminuía el capital, se aumentaba el trabajo y se incrementaba el beneficio en $\frac{w\Delta}{MP_K}-\frac{r\Delta}{MP_L}>0$ y, por lo tanto, el beneficio, de nuevo, no se maximizó. Esto significa que el beneficio sólo se puede maximizar en los puntos que satisfacen la ecuación.

Answer 3

Otros han dado explicaciones intuitivas; yo he pensado en dar una breve explicación matemática.

Supongamos que una empresa se enfrenta a una función de producción $q = f(K,L)$ . Supongamos que $f_K, f_L > 0$ y $f_{KK}, f_{LL} < 0$ . (Lo primero se desprende del supuesto de que las empresas no invertirían en capital o trabajo si no aumentaran sus ganancias, mientras que lo segundo es la ley del producto marginal decreciente).

Sea el coste del capital (por unidad) $r$ y el coste de la mano de obra (por unidad) sea $w$ .

El problema de la empresa es:

$$\max_{K,L} = pf(K,L) - rK - wL$$

Ahora, las condiciones de primer orden de una empresa que maximiza sus beneficios son:

$$_K = pf_K - r = 0 \\ _L = pf_L - w = 0$$

Podemos reordenar los términos para representar estas condiciones como:

$$p = \frac{r}{f_K} \\ p = \frac{w}{f_L}$$

Equiparar los dos:

$$\frac{r}{f_K} = \frac{w}{f_L} \implies \frac{f_L}{f_K} = \frac{w}{r} $$

Desde $MP_L \equiv f_L$ y $MP_K \equiv f_K$ obtenemos:

$$\frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$

Espero que eso ayude.