Problemas para entender la integral subyacente a los modelos de utilidad aleatoria

Question

Dada una función de utilidad, $U_{nj} = V_{nj} + \varepsilon_{nj}$ tiene sentido que podamos encontrar la probabilidad de que el tomador de decisiones $n$ elige la alternativa $i$ como:

$$Pr(U_{ni} > U_{nj} \forall j \neq i)$$ $$=Pr(V_{ni} + \varepsilon_{ni} > V_{nj} + \varepsilon_{nj} \forall j \neq i)$$ $$=Pr(\varepsilon_{nj} - \varepsilon_{ni} < V_{ni} - V_{nj} \forall j \neq i)$$

Sin embargo, tengo un problema para entender el siguiente paso, donde:

$$Pr(\varepsilon_{nj} - \varepsilon_{ni} < V_{ni} - V_{nj} \forall j \neq i)$$ $$= \int_{\varepsilon} \text{I}(\varepsilon_{nj} - \varepsilon_{ni} < V_{ni} - V_{nj} \forall j \neq i)f(\varepsilon_n)d\varepsilon_n$$

En concreto, me cuesta entender el porqué de la función de densidad conjunta, $f(\varepsilon_n)$ entra en juego. Entiendo que este es uno de los aspectos cruciales para entender los modelos de elección discreta, ya que la elección de esta función de densidad conjunta subyace al modelo que se va a utilizar. Por lo tanto, me gustaría entender mejor por qué está aquí. Si alguien tiene un ejemplo o una explicación simplificada de por qué esta integral es la que es, se lo agradecería.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con ningún modelo específico. Para cualquier evento $A$ , dejemos que $I_A$ sea la función indicadora tal que $I_A(\omega)=1$ si $\omega\in A$ y $I_A(\omega)=0$ si $\omega\notin A.$

Entonces $\mathbb{P}(A)=\mathbb{E}[I_A],$ y aquí la expectativa se da en términos de una función de densidad.