Black Scholes en el caso de los dividendos

Question

Tomemos el caso en el que la acción subyacente tiene la rentabilidad por dividendo continua $\delta$ . Entonces, en el mundo neutral de riesgo, $\frac{dS}{S}=(r-\delta)dt+\sigma dW^Q$ . Supongamos que queremos valorar un derivado sobre la acción subyacente. La forma estándar de hacerlo es crear una cartera sin riesgo utilizando una combinación del derivado y la acción, aplicando Itô para calcular la pequeña variación de dicha cartera y equiparando su tasa de crecimiento a la tasa libre de riesgo.

$\begin{align*}\pi=C-\Delta S\implies d\pi=dC-\Delta dS-(\delta\Delta) Sdt\\=C_tdt+C_{S}dS+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2dt-\delta\Delta Sdt-\Delta dS\end{align*}$

Si elegimos $\Delta=C_S$ entonces todos los términos estocásticos desaparecerían, y obtendríamos

$d\pi=C_tdt+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2dt-\delta\Delta Sdt=\pi rdt$ . Anulación $dt$ en ambos lados, y reordenando obtenemos la ecuación de Black-Scholes en el caso de los dividendos-

$C_tdt+\frac{C_{SS}}{2}\sigma^2S^2+(r-\delta)C_{S}S-rC=0$ .

Mi pregunta se refiere a la ampliación de $dS$ en el primer paso. Si mantenemos $-\Delta$ de la acción, entonces no deberíamos utilizar el proceso de retorno total de la acción, es decir $S'=Se^{\delta t}$ ? Usando Itô, $\frac{dS'}{S'}=rdt+\sigma dW^Q$ y $d\pi=dC-\Delta dS'$ y $dS'\neq dS+\delta Sdt$ .

¿En qué me estoy equivocando?

Answer 1

Mantener una cantidad $\Delta$ de la acción durante un período infinitesimal $dt$ te da:

• $\Delta \times dS$ : rendimiento de la acción a lo largo de $dt$
• $\Delta S \times \delta \times dt$ : Dividendos continuos cobrados a lo largo de $dt$

La cobertura consiste en mantener una cantidad $\Delta$ de acciones, no $\Delta$ del proceso de retorno total. Si se quiere considerar el proceso de retorno total, el ratio de cobertura será diferente, será igual a $\Delta e^{-\delta t}$ :

$\frac{\partial C}{\partial S^{'}} = \frac{\partial C}{\partial S} \times \frac{\partial S}{\partial S^{'}} = \Delta \times e^{-\delta t}$

Utilizando cualquiera de los dos $S$ o $Se^{\delta t}$ dará el mismo resultado, la misma EDP, la misma relación de cobertura, hasta un cambio de variable $S \leftrightarrow S'$