Cómo lidiar con el error de medición no aleatorio en la variable dependiente

Question

Supongamos que tengo un modelo

$y_t = \alpha + \beta_1 s_t + \beta_2 p_t + \epsilon_t$

Pero $s_t$ también depende de $p_t$, sin embargo, no se observa. Así que lo llevé al lado izquierdo.

$y_t-s_t = \alpha + \beta_p p_t + \epsilon_t$

No observo $y_t$ y $s_t$ pero observo $z_t = y_t-s_t$. ¿Entonces supongo que puedo estimar el siguiente modelo, verdad?

$z_t = \alpha + \beta_p p_t + \epsilon_t$

Y no tengo problemas de medición, creo. Eso es si me importa el efecto de $p_t$ en $z_t$.

Disculpen si mi pregunta no se ajusta al título.

Answer 1

$y_t =\alpha+\beta_1s_t+\beta_p p_t +\epsilon_t$

Si no observas una variable, no creo que quieras "llevarla al lado izquierdo"; hacer eso es simplemente innecesariamente complicado. Sería esto:

$y_t-s_t =\alpha+(\beta_1-1)s_t+\beta_p p_t +\epsilon_t$

Donde $s_t$ sigue sin observarse en el lado derecho.

Más bien, si una variable no se observa, debes pensar en incorporarla en tu término de error.

$y_t =\alpha+\beta_p p_t +\epsilon^*_t$ donde $\epsilon^*_t=\epsilon_t+\beta_1s_t$.

Si crees que $Cov(p_t, \epsilon^*_t)=0$, entonces OLS es consistente. ¡Sin problemas en absoluto!

De lo contrario, te encuentras en una situación de sesgo por variables omitidas. Deberías considerar intentar encontrar un instrumento para $p_t$ y realizar 2SLS.

Si no puedes encontrar un instrumento adecuado, deberías usar la conocida fórmula de OVB para hipotetizar la dirección y el tamaño del sesgo, e interpretar tus resultados de OLS con cautela a la luz del sesgo. OVB: $E[\hat{\beta_p}]= \beta_p+\beta_s\frac{Cov(p_t,s_t)}{Var(p_t}$