Replicación de los precios de las divisas

Question

Pagar en moneda : cur

El FX es : $FX^{cur_2/cur_1}$

Las opciones europeas sobre el FX (y sobre sí mismo) se cotizan en moneda cur 1.

Estoy buscando el precio de $$\begin{equation*} \mathbb{E}^{Q} \left[ e^{-\int_{0}^{T}r_{s}^{cur}ds} f \left( FX_{T_f}^{cur_2/cur_1} \right) | \mathcal{F}_{0} \right] = ? \end{equation*}$$

Si integro con respecto a la densidad FX_rate $\phi_{T_{f}}$ , es $\frac{B(0,T)^{cur}}{B(0,T_{f})^{cur1}}\int_{0}^{\infty}f(x)\phi_{T_{f}}(x)dx$ ¿la respuesta correcta?

Answer 1

Si $X$ es el tipo de cambio FOR-DOM (activo siempre a la izquierda, numeraire a la derecha), entonces su dinámica en la medida de la moneda QUANTO (moneda diferente de FOR y DOM; dejemos $Y$ sea el tipo de cambio DOM-QUANTO) es:

$$dX/X = \left(r_{\rm DOM}-r_{\rm FOR}-\rho_{XY}\sigma_X \sigma_Y \right) dt + \sigma_X dW$$

Distribución de terminales:

$$\ln (X_T/X_0) \sim \phi \left((r_{\rm DOM}-r_{\rm FOR}-\rho_{XY}\sigma_X \sigma_Y - 0.5 \sigma_X^2)T, \sigma^2_X T\right)$$

con $\phi$ densidad normal.

Precio:

$${\rm e}^{-r_{\rm QUANTO} T} \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\phi(x)dx$$

(obtenemos la fórmula Black-Scholes bajo mis supuestos aquí y $g(x)=(X_0{\rm e}^x-K)^+$ ).

(Ver este recurso para más detalles y pruebas sobre las opciones de quanto FX).