Necesito una explicación sobre la extraña fórmula negra de comportamiento gamma

Question

Estoy utilizando el paquete RQuantlib para valorar opciones sobre futuros. Con una ligera modificación se puede pasar del Modelo Negro (76) al Modelo BS.

Se puede demostrar fácilmente que si escribimos S0 = (e-rt) * F0 y lo introducimos en el modelo BS obtendremos el mismo valor que si utilizamos el Modelo Negro con F0.

Lo que me molesta es la gamma. Usted ve Gamma cuando no estamos en el dinero es realmente pequeño. También es realmente pequeña si estamos lejos de la madurez y para una combinación de ambos.

Sin embargo, cuando utilizo la función de abajo obtengo un aumento de la gamma para una opción de compra.

¿Podría explicarme por qué utilizando los mismos ejemplos?

require(RQuantLib)

european_option <- function(type, underlying, strike, riskFreeRate, maturity, vol){

  underlying <- underlying * exp(-riskFreeRate * maturity)
  EuropeanOption(type = type, underlying = underlying, strike = strike, maturity = maturity, volatility = vol, dividendYield = 0, riskFreeRate = riskFreeRate)

}

european_option("call", 100, 100, 0.10, 100, 0.4)

Esto da una gamma realmente alta aunque no estemos para nada cerca de la huelga y tengamos 100 años para la madurez:

0.004539993
Concise summary of valuation for EuropeanOption 
  value   delta   gamma    vega   theta     rho  divRho 
 0.0043  0.9772  2.9731  0.0025  0.0000  0.0103 -0.4437 

Por otro lado esto da una gamma más pequeña aunque estemos más cerca de la madurez y más cerca del srike:

european_option("call", 100, 100, 0.10, 10, 0.4)
[1] 36.78794
Concise summary of valuation for EuropeanOption 
    value     delta     gamma      vega     theta       rho    divRho 
  17.3974    0.7365    0.0070   37.9976   -1.7295   96.9527 -270.9268

Answer 1

Si la función "european_option" implementa la fórmula de Black Scholes (en contraposición a la de Black76), entonces no está comparando realmente lo mismo. El término de dinero en la expresión

$d_1=\frac{ln\frac{F}{K}+0.5\sigma^2 T}{\sigma\sqrt{T}}$

es totalmente diferente. Tal y como yo lo veo, estás utilizando una tasa muy alta del 10%. Así que para la opción de 100 años, $ln(\frac{F}{K})=ln(\frac{Se^{100*10\%}}{K})=ln(\frac{S}{K})+100*10\%=ln(\frac{S}{K})+10$ . Para su elección de una opción spot-at-the-money, el primer término desaparece, por lo que $ln(\frac{F}{K})=10$ . Para la opción de diez años, $ln(\frac{F}{K})=1$ . Por lo tanto, el dinero de las opciones que usted está mirando es muy diferente.

Cuando pongo F=K=100 (por tanto una opción ATMF), todo lo demás igual que tú y uso Black76, veo $\Gamma=9.5*10^{-4}$ para la opción de diez años, y $\Gamma=6.13*10^{-9}$ para la opción a cien años, en consonancia con la expectativa (la opción a más corto plazo tiene una gamma mayor). Por lo tanto, creo que en realidad se debe a que se comparan opciones con diferente grado de dinero.

EDITAR: Para su referencia, utilizo la siguiente fórmula para obtener los números anteriores:

$\Gamma=e^{-rT}\frac{\phi(d_1)}{F\sigma\sqrt{T}}$