En el primer capítulo de Kreps (2013) se puede demostrar que la función de elección satisface la coherencia de elección. Kreps escribe:
No entiendo cómo la tercera frase de (b) se deduce lógicamente de las dos anteriores. ¿Cómo sabemos necesariamente que hay una tercera mercancía, z, en A? Puede que sólo haya dos productos. Además, ¿cómo sabemos necesariamente que u(z) > u(y)? ¿Por qué el consumidor no puede ser indiferente entre z e y?
La traducción al inglés de $c_u(A)=\{x\in A:u(x)\ge u(y) \text{ for all }y\in A\}$ es
$c_u(A)$ es un subconjunto de elementos del conjunto $A$ que cumple la siguiente condición: si un elemento está en $c_u(A)$ entonces este elemento debe generar una utilidad no inferior a la de cualquier otro elemento del conjunto $A$ .
En otras palabras, $c_u(A)$ contiene el elemento o los elementos más preferidos por el responsable de la toma de decisiones en $A$ .
Tenga en cuenta que " $x$ "en la definición es cualquier elemento en $A$ que satisface la condición en negrita anterior, y " $y$ " es cualquier elemento en $A$ (sin más restricciones). Subrayo la palabra cualquier para destacar el hecho de que $x$ y $y$ son meros marcadores de posición y, por tanto, no se refieren a elementos específicos de ninguno de los dos conjuntos. De hecho, es muy posible que hayamos definido $c_u(A)$ como $\{y\in A: u(y)\ge u(x) \text{ for all }x\in A\}$ y la interpretación/traducción al inglés será exactamente la misma (es decir, textual) que en el bloque de citas anterior.
Veamos un ejemplo. Supongamos que hay tres alternativas posibles, denotadas como sigue: \begin{equation} a_1=\text{one \$5 bill}, \qquad a_2=\text{one \$10 bill}, \qquad a_3=\text{two \$5 bills}. \end{equation} Supongamos, además, que al responsable de la toma de decisiones sólo le importa la cantidad total de dinero de cada alternativa, y por tanto \begin{equation} u(a_2)=u(a_3)>u(a_1). \end{equation}
Dejemos que $A=\{a_1,a_2,a_3\}$ y olvidémonos de $B$ por ahora.
" Supongamos que $x,y\in A$ y $x\in c_u(A)$ . " La primera parte de la frase (antes de "y") sugiere que ambos $x$ y $y$ (de nuevo, marcadores de posición aquí) pueden ser $a_1$ , $a_2$ o $a_3$ pero la segunda parte de la frase (después de "y") descarta $x=a_1$ desde $a_1$ no es una de las alternativas preferidas.
" Entonces $u(x)\ge u(y)$ . " Esto se desprende de $x\in c_u(A)$ ya que $x$ es $a_2$ o $a_3$ y $y$ es $a_1$ , $a_2$ o $a_3$ .
" Si $y\notin c_u(A)$ entonces $u(z)>u(y)$ para algunos $z\in A$ . " La parte "si" de esta frase restringe $y$ para ser sólo $a_1$ porque si $y$ eran $a_2$ o $a_3$ se habría incluido en el conjunto $c_u(A)$ . En consecuencia, dado que $y$ no es una de las alternativas preferidas, algún elemento en $A$ debe ser estrictamente preferido a $y$ y sabemos que este "algún elemento" debe ser $a_2$ o $a_3$ . [El libro de texto utiliza la variable $z$ en lugar de $x$ porque quiere permitir la posibilidad de que $z\in A$ pero $z\notin B$ . De lo contrario, habría utilizado $x$ en su lugar].
El resto de la prueba debería ser sencilla a partir de aquí.
Dejemos que $A=\{a_1,a_2\}$ . Te dejo que compruebes que en este ejemplo, la prueba del libro de texto funciona de la misma manera sin pérdida de generalidad.
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