¿Cómo puedo calcular $Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right)$

Question

¿Cómo puedo calcular? \begin{align} Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right) \end{align}

Gracias por su atención.

Answer 1

Usted sabe que $E\left[\int_{0}^{s}W_udu\right]=E\left[\int_{0}^{t}W_vdv\right]=0$ . Por definición \begin{align} & Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right)=E\left[\int_{0}^{s}W_u\,du\int_{0}^{t}W_v\,dv\right]-0 \end{align} entonces \begin{align} & Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right)=\int_{0}^{s}\int_{0}^{t}E\,[W_uW_v]\,\,du\,dv \end{align} Desde $E\,[W_uW_v]=min \{\,u\,,v \}$ para ello \begin{align} & Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right)=\int_{0}^{s}\int_{0}^{t}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv \end{align} Para el caso $s<t$

\begin{align} \int_{0}^{s}\int_{0}^{t}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv=\int_{0}^{s}\int_{0}^{s}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv+\int_{0}^{s}\int_{s}^{t}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv \end{align} tenemos inmediatamente \begin{align} \int_{0}^{s}\int_{0}^{t}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv=\frac{1}{3}s^3+\frac{1}{2}(t-s)s^2 \end{align} Siguiendo los mismos pasos descritos anteriormente, para el caso $s > t$ también podemos mostrar \begin{align} \int_{0}^{s}\int_{0}^{t}min \{\,u\,,v \}\,\,du\,dv=\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{2}(s-t)s^2 \end{align} Así, \begin{align} Cov\left(\int_{0}^{s}W_u\,du\,\,,\,\int_{0}^{t}W_v\,dv\right)=\frac{1}{3}min\{s^3\,\,,t^3\}+\frac{1}{2}|t-s|min\{s^2\,\,,t^2\} \end{align}