En el libro de Hull (9ª edición), en las páginas 202-203, hay un ejemplo para calcular el pago de un OIS que me resulta confuso. Dice que supongamos que en un OIS estadounidense a 3 meses el principal nocional es \$100 million and the fixed rate (i.e. the OIS rate) is 3% per annum. If the geometric average of overnight effective federal funds rates during the 3 months proves to be 2.8 per annum, the fixed-rate payer has to pay 0.25*(0.030-0.028)*\$ 100 millones de euros. A mi entender, si los tipos de interés a un día durante el período son $r_1,...,r_n$ y el tipo de cambio es $q$ Entonces, ¿el pagador de la cuota fija no está pagando $$(1+\frac{q}{360})^n$$ y recibiendo $$(1+\frac{r_1}{360})(1+\frac{r_2}{360})...(1+\frac{r_n}{360})?$$ En este caso, si la media geométrica del tipo de interés a un día es $$\frac{r^*}{360}=[(1+\frac{r_1}{360})(1+\frac{r_2}{360})...(1+\frac{r_n}{360})]^{\frac{1}{n}}-1$$ y el flujo de caja del pagador a tipo fijo es realmente $$(1+\frac{r^*}{360})^n-(1+\frac{q}{360})^n$$ ¿Es correcto lo que he entendido? No puedo entender el ejemplo del libro.
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No me queda claro el álgebra que has dado, pero creo que todo lo que hace Hull es decir que el tipo fijo anualizado es del 3% y el tipo flotante OIS a tres meses es del 2,8%, por lo que el flujo de caja es la diferencia de esto ajustado por el periodo de devengo (0,25 en este caso), multiplicado por el nocional. No dice nada sobre cómo se obtiene el 2,8%. Utilizando su notación: si las fijaciones diarias en el periodo de 3 meses (que, por el bien del argumento, digamos que tiene 66 días hábiles) son $r_i$ y los periodos de devengo (diario) son $\delta_i$ , para $i=1,...,66$ entonces ese 2,8% proviene de algo así como: $$ ((\prod_{i=1}^{66} (1+\delta_i r_i))-1)/0.25.$$
no es el pagador a tipo fijo el que paga $(1+q/360)^n$
Los swaps de tipos de interés no suelen implicar intercambio de nocionales. Además, la parte fija de un swap suele cotizarse en la convención del mercado monetario, no como un tipo compuesto. Por tanto, el flujo de caja fijo sería $q\cdot n/360$ asumiendo ACT/360.
y recibiendo $(1+r_1/360)(1+r_2/360)...(1+r_n/360)$
El tramo flotante (compuesto) de un OIS suele convertirse también a una convención de tipos del mercado monetario, por lo que se calcularía $r=((1+r_1/360)(1+r_2/360)...(1+r_n/360)-1)\cdot 360/n$ . El resultado suele redondearse, y el flujo de caja flotante asciende a $r\cdot n/360$ .
Como ejemplo concreto, consideremos un OIS de 100 M USD, negociado el 09/02/2023 durante 1 semana (VD 13/02/2023, MD 21/02/2023), con un tipo fijo del 4,5%. El pago fijo sería 100M*4,5%*8/360=100 000,00 USD. El tipo variable sería ((1+4,55%/360)*(1+4,55%/360)*(1+4,55%/360)*(1+4,55%/360)*(1+4,55%*4/360)-1)*360/8=4,55158% (redondeado al 0,00001%). El pago flotante sería 100M*4,55158%*8/360=101 146,22 USD. En neto, el comprador del swap recibiría 1 146,22 USD el 23/02/2023.
