Expectativa sobre una función del Proceso de Wiener

Question

Si <span class="math-container">$Wt$</span> es un proceso estándar de Wiener, ¿cómo debo probar que <span class="math-container">$E \left[ \int\limits{0}^{t} \frac{1}{1+W_s^2} dW_s \right] = 0$?</span>

Answer 1

La prueba utiliza la propiedad martingala de la integral de Ito. Para un proceso estocástico adaptado <span class="math-container">$X_t$</span> tal que

<span class="math-container">$$\mathbb{E}\int_0^{t}|X_s|^2ds </span>

Tenemos

<span class="math-container">$$\mathbb{E}\int_0^{t}X_sdW_s =0$$</span>

Ahora su resultado sigue configurando

<span class="math-container">$$X_t=\frac{1}{W_t^2+1}.$$</span>

Para ver que se cumple la condición de integrabilidad cuadrada, tenga en cuenta

<span class="math-container">$$\mathbb{E}\int_0^{t}\frac{1}{(W_s^2+1)^2}ds </span>