Cómo se deriva la restricción presupuestaria intertemporal de todas las restricciones intratemporales

Question

Supongamos que un agente recibe una renta fija (exógena) cada periodo, $y_t$ y puede gastarlo en $c_t$ o guardarlo/prestarlo ( $s_{t+1}$ ). Supongamos también que el agente comienza sin ahorros ni deudas.

¿Cómo se llega a esto?

$c_t + s_{t+1} = y_t + (1 + r_t) s_t$

A esto:

$\sum_{t=0}^\infty c_t p_t = \sum_{t=0}^\infty y_t p_t$

donde $p_t = \frac{1}{(1 + r_1)(1 + r_2)...(1 + r_{t})}$

Answer 1

Dejemos que $p_t = \dfrac{1}{\prod_{i = 0}^{t-1}(1+r_i)}$ .

Multiplicar $s_{t+1} - (1+r_t) s_t = y_t - c_t$ por $p_{t+1}$ para conseguirlo: $$ p_{t+1} s_{t+1} - p_{t} s_t = p_{t+1} y_t - p_{t+1} c_t $$ Ahora añade sobre todo $t = 0, 1, \ldots, T$ (y fíjate que obtenemos una suma telescópica): $$ p_{T+1} s_{T+1} = \sum_{t = 0}^T p_{t+1} y_t - \sum_{t = 0}^T p_{t+1} c_t. $$ Esto supone que $s_0 = 0$ .

Normalmente, también se impone una condición de no-ponzi ( $\lim_{T \to \infty} p_T s_{T} = 0$ ). Si es así, (y si los límites de las sumas están bien definidos, es decir, acotados), podemos tomar límites para $T \to \infty$ de la identidad anterior para obtener: $$ \sum_{t = 0}^\infty p_{t+1} c_t = \sum_{t = 0}^\infty p_{t+1} y_t. $$ Así que supongo que su índice en $p$ es uno de ellos.

Alternativamente, si la restricción presupuestaria es: $$ s_{t+1} = (y_t - c_t + s_t)(1+r_t), $$ entonces se obtendría $$ \sum_{t = 0}^\infty p_{t} c_t = \sum_{t = 0}^\infty p_{t} y_t. $$ La diferencia es que aquí se obtienen los ingresos y se consume al principio del periodo (antes de recibir los intereses) mientras que en su especificación, primero se reciben los intereses y sólo después se reciben los ingresos y se consume.