Demuestre que la pendiente de la RM (ingreso marginal) es negativa para los monopolistas

Question

Quiero demostrar que el ingreso marginal es negativo para los monopolistas.

Suponemos que $P(Q)$ es homogénea de grado 1, por lo que es lineal (afín, estrictamente hablando): $P(Q)=a-bQ$ .

Como sabemos, $\frac{dP(Q)}{dQ} \lt 0$ porque la pendiente de la curva de demanda es negativa.

Así que $\overbrace{Q\frac{dP(Q)}{dQ}+P(Q)}^{=MR} \lt P(Q)$ y $MR \lt P(Q)\ \forall \ Q \ge 0$ .

Así que quiero demostrar que el ingreso marginal no es constante (como lo es en un mercado competitivo) sino que también disminuye.

$$ \frac{dMR}{dQ}=\frac{d\bigl(Q\frac{dP(Q)}{dQ}+P(Q)\bigr)}{dQ}=\frac{d\bigl(Q\frac{dP(Q)}{dQ}\bigr)}{dQ}+\frac{dP(Q)}{dQ}=2\frac{dP(Q)}{dQ}. $$

¿Es correcto este planteamiento y es suficiente para demostrar que 1. la pendiente de la RM será negativa para los monopolistas y 2. será exactamente el doble de la pendiente de la curva de demanda? ¿Existe una explicación más sencilla o más lógica?

Answer 1

Quieres mostrar $$ \frac{dMR}{dQ} < 0. $$ Tal y como señalas en los comentarios $$ \frac{dMR}{dQ}= Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ}. $$

El caso lineal

Cuando $P(Q) = a - bQ$ , suponiendo que $a,b>0$ , se obtiene $$ \frac{dMR}{dQ}= Q \cdot 0 - 2b = - 2b< 0. $$

El caso general

$$ Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} < 0 $$ no se cumple para todas las funciones decrecientes $P(Q)$ . Un contraejemplo es $P(Q) = Q^{-2}$ .
En este caso $$ Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} = Q(-2)(-3)Q^{-4} + 2(-2)Q^{-3} = 2Q^{-3} > 0. $$

El caso cóncavo

Una condición suficiente (pero no necesaria) para que la pendiente sea descendente $MR(Q)$ es asumir que $P(Q)$ es estrictamente decreciente y cóncavo.
En este caso $\frac{dP(Q)}{dQ}$ es negativo y $\frac{d^2P(Q)}{dQ^2}$ es no positivo, por lo que su suma (ponderada) es negativa, por lo que $$ \frac{dMR}{dQ}= Q\frac{d^2P(Q)}{dQ^2} + 2\frac{dP(Q)}{dQ} < 0. $$