Por favor, me gustaría que me dieran su opinión/ayuda para probar lo siguiente. Mi prueba está abajo, pero no estoy seguro de si mi solución es eficiente. Gracias.
Si $u(x)$ es una utilidad homotética, entonces demuestre que la demanda marshalliana es de la forma $x_i^*(p,I) = \hat{x}_i^*(p)I.$
$\textit{Proof.}$ Si $u(x)$ es homotético entonces $$ \forall \alpha \in \mathbb{R}_{+}, \forall x : \hskip 6pt \frac{\partial u(x)}{\partial x} = \frac{\partial u(\alpha \cdot x)}{\partial x}. $$ Supongamos ahora que $$ x_i^*(p,I) = \hat{x}_i^*(p)I $$ no se cumple, lo que equivale a $$ u(x_i^*(p,I)) \ne u(\hat{x}_i^*(p)I). $$ Precisamente, $x_i^*(p,I)$ y $\hat{x}_i^*(p)I$ puede ser valorado. En este caso nos referimos a dos elementos, de los cuales al menos uno no está incluido en ambos conjuntos.
Caso 1. $$ u(x_i^*(p,I)) > u(\hat{x}_i^*(p)I) $$ Como $u$ es homotético $$ u(x_i^*(p,I)) = u(I \cdot \frac{1}{I}\cdot x_i^*(p,I)) = I \cdot u(\frac{1}{I}\cdot \hat{x}_i^*(p)I). $$ Utilizando esto tenemos $$ I \cdot u(\frac{1}{I}\cdot x_i^*(p,I)) = u(x_i^*(p,I)) > u(I\cdot \hat{x}_i^*(p)I) = I\cdot u(x_i^*(p,I)) $$ por lo que tenemos $$ u(\frac{1}{I}\cdot x_i^*(p,I)) > \hat{x}_i^*(p)I) $$ Sin embargo, como $\frac{1}{I} \cdot x_i^*(p,I)$ es claramente un elemento de $B(p)I$ esto es imposible ya que $\hat{x}_i^*(p)I$ da la máxima utilidad en ese conjunto de presupuestos.
Caso 2. $$ u(x_i^*(p,I)) < u(\hat{x}_i^*(p)I) $$ Como $\hat{x}_i^*(p)I$ es claramente un elemento de $B(p,I)$ esto es imposible ya que $x_i^*(p,I)$ da la máxima utilidad en ese conjunto de presupuestos.
Así, hemos demostrado que $$ u(x_i^*(p,I)) = u(\hat{x}_i^*(p)I) $$ que es equivalente a $$ x_i^*(p,I) = \hat{x}_i^*(p)I. $$
