Cox-Ingersoll-Ross: Simulación de Monte Carlo

Question

Estoy tratando de construir una simulación de Monte Carlo en Excel (sí, lejos de ser óptimo) para la valoración de un bono con opción de rescate. Tengo experiencia en la simulación de MC en derivados dependientes del camino con acciones como activos subyacentes, pero una experiencia muy limitada en la modelización de tasas de interés. Para este ejercicio, necesito simular tasas de interés basadas en el modelo de Cox-Ingersoll-Ross:

$$\mathrm{d}r_t =a(br_t)\mathrm{d}t+\sigma\sqrt{r_t}\mathrm{d}z_t$$

En este contexto, tengo dos preguntas con las que estoy luchando para encontrar una respuesta definitiva:

1. ¿Existe un esquema de discretización que se considere "práctica común en el mercado" para este propósito? Comencé con un esquema de Euler-Maruyama, pero esto es algo problemático ya que la aplicación de la distribución normal en este esquema resulta en una probabilidad no nula de obtener tasas de interés negativas. Leí una publicación antigua aquí sugiriendo cuatro esquemas alternativos, pero no pude entender si alguno de estos se aplica comúnmente y qué suelen usar las personas al valorar bonos con opción de rescate.

2. ¿Para tener en cuenta la correlación entre dos procesos de CIR (por ejemplo, ejecutando procesos separados para la tasa libre de riesgo y el diferencial de crédito), se puede simplemente ajustar las variables aleatorias, por ejemplo, al simular precios de acciones lognormales?

Answer 1

Esquemas de discretización

Si desea simular el camino, entonces la práctica común es muestrear de la distribución exacta, como en el proceso CIR esto es conocido. La distribución se puede encontrar a partir del proceso CIR original (1985). Sin embargo, esto requiere muestrear de una distribución $\chi^2$ no central, lo cual puede ser muy costoso y un poco más difícil de implementar que un esquema de Euler-Maruyama.

Para el esquema de Euler-Mayuama, o variantes del mismo que son apropiadas para el proceso CIR, algunas opciones populares en el entorno académico/científico incluyen

• El esquema truncado por Deelstra y Delbaen.
• El esquema completamente truncado por Lord et al.
• El esquema reflejado por Berkaoui et al.
• El esquema reflejado por Higham et al.
• Esquemas de orden superior por Alfonsi.
• etc.

Para más discusión sobre estos ver Dereich et al. y Lord et al. Por supuesto, la mayoría de las personas en finanzas guardan silencio sobre lo que utilizan, por lo que solo es posible comentar sobre qué tan populares son en un entorno científico.

Vale la pena señalar que mientras que el esquema de Euler-Maruyama es mucho más económico en comparación con la simulación exacta de CIR (usando muestras de $\chi^2$ no central), es muy sesgado y, por lo tanto, puede requerir simulaciones de camino muy finas, lo cual puede afectar algunos de los ahorros.

Construcción de variables aleatorias correlacionadas

Esta respuesta lo explica mejor de lo que puedo hacerlo, y aunque están discutiendo variables aleatorias gaussianas, parece que debería aplicarse a otras distribuciones.

Si está buscando rendimiento

Esto parece redundante, ya que si está buscando rendimiento no debería estar usando excel, pero para generar variables aleatorias $\chi^2$ no centrales en excel puede utilizar el método de transformación inversa con la función NCHISQ_INV en el "Real Statistics Pack" de excel (aparentemente). Sin embargo, como autopromoción descarada, pronto lanzaré un artículo que discute cómo ejecutar simulaciones de camino y evitar variables aleatorias costosas, y de la misma manera he extendido/demonstrado esto para el proceso CIR. Así que podría publicar un enlace en la respuesta cuando esté disponible (si alguien me lo recuerda).

Referencias

• John C. Cox, Jonathan E. Ingersoll Jr, y Stephen A. Ross. A theory of the term structure of interest rates. Econometrica, 53(2):385–408–164, Marzo 1985.
• Aurélien Alfonsi. On the discretization schemes for the CIR (and Bessel squared) processes. Monte Carlo Methods and Applications, 11(4):355–384, 2005. (cf. los artículos de 2008 y 2010 también).
• Griselda Deelstra y Freddy Delbaen. Convergencia de procesos estocásticos discretizados (de tasas de interés) con término de deriva estocástico. Modelos y análisis de datos estocásticos aplicados, 14(1):77–84, 1998.
• Steffen Dereich, Andreas Neuenkirch y Lukasz Szpruch. Un método tipo Euler para la aproximación fuerte del proceso Cox-Ingersoll-Ross. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 468(2140):1105–1115, 2012.
• Abdel Berkaoui, Mireille Bossy y Awa Diop. Esquema de Euler para EDEs con coeficiente de difusión no Lipschitz: convergencia fuerte. ESAIM: Probabilidad y Estadística, 12:1–11, 2008.
• Desmond J Higham, Xuerong Mao y Andrew M Stuart. Convergencia fuerte de métodos tipo Euler para ecuaciones diferenciales estocásticas no lineales. SIAM Journal on Numerical Analysis, 40 (3):1041–1063, 2002.
• Roger Lord, Remmert Koekkoek y Dick van Dijk. A comparison of biased simulation schemes for stochastic volatility models. Quantitative Finance, 10(2):177–194, 2010.