Opción de compra de precio flotante

Question

Supongamos que el bono sin riesgo $B_t$ y las acciones $S_t$ siguen la dinámica del modelo Black & Scholes sin dividendos (con tipo de interés $r$ , deriva de las acciones $\mu$ y la volatilidad $\sigma$ ).

Si $r=\frac{\sigma^2}{2}$ . Calcule el precio en el momento $t = 0$ de la opción de compra lookback con vencimiento $T$ es decir es la opción con pago $S_T-min_{t\in[0,T]}S_t$ en el momento $T$ .

Si sigo el enfoque de la PDE para calcular el precio de la opción de compra con efecto retroactivo y strike flotante, ¿cómo hago uso de la condición $r=\frac{\sigma^2}{2}$ ? ¿Quieren decir que entonces $S_t=S_0e^{\sigma W_t}$ ? Esto es lo que obtuve cuando calculé $\mathbb{E}[min_{[0,T]}S_t]=2\mathbb{E}[S_T]\Phi(-\sigma\sqrt{t})$ . ¿Cómo puedo utilizar este resultado para calcular el precio de la retroalimentación flotante?

Apreciaría mucho toda la ayuda que pueda recibir.

Answer 1

Bajo la condición $r=\frac{\sigma^2}{2}$ es cierto que $S_t = S_0e^{\sigma W_t}$ . Desde \begin{align*} E\Big( S_T - \min_{0 \le t \le T} S_t\Big) = E\big( S_T\big) - E\Big(\min_{0 \le t \le T} S_t\Big), \end{align*} lo que necesita es la expectativa $E\big(\min_{0 \le t \le T} S_t\big)$ . Tenga en cuenta que \begin{align*} \min_{0 \le t \le T} S_t = S_0e^{\sigma \min_{0 \le t \le T} W_t}. \end{align*} Utilizando la función de densidad de $\min_{0 \le t \le T} W_t$ la expectativa $E\big(\min_{0 \le t \le T} S_t\big)$ puede calcularse directamente.