Calibración de la cópula gaussiana al precio de la opción

Question

Tengo una opción "exótica" que está en función de dos tipos de interés (digamos Libor de 3m a 1 año de vencimiento y 2 años de vencimiento). Asumo que ambos tipos siguen el modelo sabr (ya calibrado a vainillas), por lo que tengo los dos marginales totalmente definidos. El precio de esta opción es observable en el mercado. Asumo una cópula gaussiana para modelar la dependencia de los dos tipos. Así que el único parámetro que queda por estimar es la correlación.

¿Cómo calibro esta cópula a los precios del mercado, es decir, cómo estimo la correlación? Sé vagamente que implicará resolver iterativamente la integral doble de la cópula gaussiana para que coincida con el precio de mercado, pero no sé cómo obtener los límites de la integral y también cómo pasar de la cópula al precio de la opción.

Por favor, siéntase libre de asumir un pago razonable de la opción en caso de que ayude a explicar. Gracias por cualquier indicación para este principiante de la cópula.

Answer 1

No lo has mencionado, pero creo que también tienes que incluir el factor de descuento $D$ en el momento $T$ de vencimiento de su opción como tercera variable. Denotemos los dos tipos de interés como $r$ y $s$ y la función de pago de su opción como $f=f(r,s).$

El precio de su opción es entonces la expectativa del flujo de caja descontado: $$ \text{price }=\mathbb{E}[f(r,s)D]$$ según su medida de fijación de precios. Denote la función de densidad de su medida de fijación de precios por $\phi$ . Dado que es la densidad conjunta de los tres factores de riesgo $\phi=\phi(r,s,D)$ . Supongo que la medida, y por tanto también la densidad, se apoya en $\mathbb{R}^3.$

Entonces $$ \mathbb{E}[f(r,s)D] = \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(r,s)D\, \phi(r,s,D) \,d r\,d s\,d D.$$

Hasta ahora es casi totalmente genérico. Para introducir el supuesto de la cópula es necesario escribir la densidad conjunta en términos de las densidades marginales y de la densidad de la cópula. Es cierto en general que una densidad se puede escribir como: $$ \phi(r,s,D)=m_1(r)m_2(s)m_3(D)*c(r,s,D)$$ donde $m_i$ son los valores marginales y $c$ es la densidad de la cópula (véase, por ejemplo, la Proposición 4.2.14 en Teoría actuarial para riesgos dependientes ). En conjunto, su precio es la triple integral $$ \text{price }= \int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(r,s)D\, m_1(r)m_2(s)m_3(D)*c(r,s,D) \,d r\,d s\,d D. $$

Obsérvese que esta cópula gaussiana $c$ requiere tres parámetros de correlación, ¡no sólo uno!

Answer 2

Si recuerdo correctamente, por ejemplo, McNeil et. al (2005: Proposición 5.29) y si le entiendo bien, debería ser posible estimar el parámetro de correlación $\varrho$ de la cópula gaussiana a partir de dos series temporales de los tipos de interés deseados mediante el cálculo de la cópula de Kendall $\tau$ o la correlación de rangos de Spearman $\rho$ utilizando las relaciones:

$\varrho = \sin(\frac{\pi}{2}\tau)$

o

$\varrho = 2\sin(\frac{\pi}{6}\rho)$