Demostración matemática de $g = \mu - \frac{\sigma^2}{2}$ relación entre CAGR y rentabilidad media

Question

Encontré en un artículo que la relación entre la TCAC y la media aritmética de los rendimientos es la siguiente

$$g \sim \mu - \frac{\sigma^2}{2}$$

donde g es la media geométrica, $\mu$ la media aritmética y $ \sigma^2$ la varianza de los rendimientos. No puedo encontrar ninguna derivación formal de esta relación.

Answer 1

A continuación se presenta una derivación directa de esta relación aproximada para una muestra discreta de rendimientos que no requiere especificar una distribución de probabilidad subyacente o un proceso estocástico continuo (por ejemplo, un movimiento browniano geométrico).

Dada una secuencia finita de rendimientos $r_1,r_2, \ldots, r_n $ el CAGR $g$ y rentabilidad media aritmética $\mu$ son $$g = \left[\prod_{j=1}^n(1+r_j)\right]^{1/n} -1, \quad \mu = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n r_j$$

Reordenando la fórmula CAGR y tomando logaritmos, obtenemos
$$\tag{1}\log(1+g) = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \log(1+r_j)$$

Ampliando $\log(1+r_j)$ en torno a $\log(1+\mu)$ y sustituyendo en (1) podemos obtener la relación entre $g$ y $\mu$ . Tenga en cuenta que

$$\tag{2}\log(1+r_j) - \log(1+\mu) = \log\left(\frac{1+r_j}{1+\mu}\right) = \log \left(1 + \frac{r_j-\mu}{1+\mu} \right)$$

La serie Taylor $\log(1+\lambda_j) = \lambda_j - \lambda_j^2/2 + \lambda_j^3/3 \mp \ldots$ converge para $|\lambda_j| < 1$ . Aplicando esto a (2) con $\lambda_j = (r_j- \mu)/(1+\mu)$ obtenemos

$$\tag{3}\log(1+r_j) = \log(1+\mu) + \lambda_j - \frac{\lambda_j^2}{2} + \mathcal{O}(\lambda_j^3)$$

Sustituyendo (1) por (3) se obtiene

$$\tag{4}\log(1+g) = \log(1+\mu) + \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n \lambda_j - \frac{1}{2n}\sum_{j=1}^n \lambda_j^2 + \frac{1}{3n}\mathcal{O}\left(\sum_{j=1}^n \lambda_j^3\right) $$

El segundo término del lado derecho debe desaparecer ya que $\sum_{j=1}^n\lambda_j = \sum_{j=1}^n(r_j -\mu) = n\mu - n\mu$ . El tercer término es $\sigma^2/(2(1+\mu)^2)$ donde el estimador de volatilidad $\sigma$ viene dada por

$$\sigma^2:= \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n (r_j- \mu)^2 $$

También podemos suponer que el término de error $\frac{1}{3n}\mathcal{O}\left(\sum_{j=1}^n \lambda_j^3\right)$ puede despreciarse para valores típicos (pequeños) de $r_j$ .

Haciendo sustituciones y aplicando la función exponencial a ambos lados de (5) resulta que

$$\tag{6}1 + g \approx (1+\mu)\exp \left(- \frac{\sigma^2}{2(1+\mu)^2}\right)$$

Por último, expandiendo la función exponencial y utilizando la aproximación $\exp(-x) \approx 1-x$ obtenemos

$$1+g \approx (1 + \mu)\left[1-\frac{\sigma^2}{2(1+\mu)^2}\right] =1 +\mu - \frac{\sigma^2}{2(1+\mu)}, $$

y, por lo tanto,

$$g \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2(1+\mu)} \approx \mu - \frac{\sigma^2}{2},$$

donde una aproximación adicional $1/(1+\mu) \approx 1$ se utiliza.

Para índices típicos como el S&P 500, el error de esta aproximación es de unos pocos puntos básicos.

Answer 2

Es un caso especial de la desigualdad AM-GM, suponiendo que los rendimientos del mercado siguen una distribución lognormal.

Consideremos el sencillo ejemplo de una acción que tiene una probabilidad del 50% de subir y bajar un 10% cada periodo.

Su media aritmética es obviamente 0: (50% * +10%) + (50% * -10%) = 0

Su media geométrica es (1+10%)^0,5*(1-10%)^0,5 -1 = -0,5%.

O un ejemplo más extremo a la inversa. Una acción que se duplica y se reduce a la mitad con la misma probabilidad. Su media geométrica es obviamente 0. A largo plazo, hay una duplicación por cada reducción a la mitad, y viceversa. Pero la media aritmética es (50% * +100%) + (50% * -50%) = +25%.

Para la distribución lognormal continua completa, en lugar de mis ejemplos discretos anteriores, la fórmula de media varianza anterior se deriva del cálculo de su primer momento. http://mathworld.wolfram.com/LogNormalDistribution.html