El Movimiento Browniano geométrico: porcentaje de devoluciones vs log-devuelve

Question

En el clásico de cálculo, sabemos que el límite de porcentaje de retorno (es decir, $dS/S$) es igual a la de la sesión de retorno (es decir. $dln(S)$ ).

Con la incertidumbre, que dependen del Lema de Ito para dibujar una relación entre los dos:

\begin{ecuación*} dS = \mu S dt + \sigma Sdz \end{ecuación*}

y

\begin{ecuación*} dln(S) = (\mu \sigma^2/2) dt + \sigma dz \end{ecuación*}

Entiendo las matemáticas detrás, pero me gustaría saber más acerca de la intuición, principalmente

con incertidumbres, cuando nos "cambio" de porcentaje de retorno al registro de devolución, ¿por qué tenemos una pequeña deriva $(\mu \sigma^2/2)$? Hay alguna intuición o sentido financiero detrás?

Por otra parte, al discretizar el proceso, podemos sacar la misma relación y decir algo como \begin{ecuación*} \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \Delta z \end{ecuación*}

y \begin{ecuación*} \Delta ln(S) = (\mu \sigma^2/2) \Delta t + \sigma \Delta z \end{ecuación*}

Gracias de antemano.

Answer 1

El porcentaje de retorno sobre la infinitesimal intervalo $[t, t+dt]$ es dada por \begin{align*} \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} \approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi, \end{align*} donde $\xi$ es una variable aleatoria normal estándar. En el registro de devolución, tenga en cuenta que, para que $x$ es suficientemente pequeño, \begin{align*} \ln (1+x) \aprox x -\frac{x^2}{2}, \end{align*} entonces, haciendo caso omiso de los términos de orden superior (en relación a los $dt$), \begin{align*} \ln \frac{S_{t+dt}}{S_t} &= \ln \left(1+ \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} \derecho)\\ &\approx \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t} -\frac{1}{2} \left( \frac{S_{t+dt} - S_t}{S_t}\derecho)^2\\ &\approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi -\frac{1}{2} \left(\mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi\derecho)^2\\ &\approx \mu dt + \sigma \sqrt{dt} \xi -\frac{1}{2}\sigma^2\xi^2 dt\\ &\approx \left(\mu \sigma^2/2 \derecho)dt + \sigma \sqrt{dt} \xi. \end{align*} Aquí, suponemos que \begin{align*} \xi^2 \aprox E(\xi^2) = 1. \end{align*}