La elasticidad de la demanda es igual a -1, pero la renta disminuye.

Question

En mi libro de texto, se dice que:

Cuando $\epsilon < -1$ La demanda es elástica y el aumento del precio se traduce en menores ingresos, mientras que la reducción del precio se traduce en mayores ingresos.

Cuando $\epsilon = -1$ La demanda no es ni elástica ni inelástica y un cambio en el precio no provocará un cambio en los ingresos.

Cuando $\epsilon > -1$ La demanda es inelástica y el aumento del precio se traduce en mayores ingresos, mientras que la reducción del precio se traduce en menores ingresos.

$\epsilon = \%\Delta Q / \%\Delta P$ .

Este es el ejercicio que me pareció confuso:

Precio antiguo: 5

Precio nuevo: 6

Cantidad antigua: 25

Cantidad nueva: 20

Calcular la elasticidad

Esta es mi solución:

$\% \Delta P = \frac{\text{new price } - \text{ old price}} {\text{old price}} = \frac{6 - 5} 5 = 0.2$

$\%\Delta Q = \frac{\text{new quantity } - \text{ old quantity}} { \text{old quantity}} = \frac{20 - 25} {25} = -0.2$

$\epsilon = \%\Delta Q / \%\Delta P = -0.2 / 0.2 = -1$

$$$$ Por eso estoy confundido:

$\text{Old income} = \text{old price} \times \text{old quantity} = 5 \times 25 = 125$

$\text{New income} = \text{new price} \times \text{new quantity} = 6 \times 20 = 120$

Los ingresos antiguos no son iguales a los nuevos, aunque la elasticidad sea de -1.

¿Qué estoy haciendo mal? ¿Estoy entendiendo mal el libro de texto?

$$$$ Editar: la respuesta proporcionada es $\epsilon = 1.22$ pero no tengo ni idea de dónde viene.

Answer 1

Desaconsejamos las preguntas numéricas, ya que es poco probable que sean útiles para los futuros visitantes, pero éste es un muy buen ejemplo de por qué el uso de cantidades no marginales puede ser engañoso.

La definición exacta de la elasticidad precio de la demanda es $$ \epsilon(p) = \frac{d D(p)}{d p} \cdot \frac{p}{D(p)}. $$ (En su notación $D(p) = Q$ .)
Mediante un cálculo sencillo se puede demostrar \begin{eqnarray*} \max_p & & p \cdot D(p) \\ \\ p \cdot \frac{d D(p)}{d p} + D(p) & = & 0 \\ \\ p \cdot \frac{d D(p)}{d p} & = & - D(p) \\ \\ \frac{p}{D(p)} \cdot \frac{d D(p)}{d p} & = & - 1 \\ \\ \epsilon(p) & = & - 1. \end{eqnarray*} Si un marginal La modificación del precio aumenta o disminuye los ingresos cuando $\epsilon(p) \neq - 1$ se puede ver a partir de un cálculo similar.

Obsérvese que el razonamiento utilizado anteriormente sólo afirmaba que $D(p)$ ha alcanzado su máximo local. Es posible que existan varios máximos locales y que el máximo global esté en otra parte.

Así que $\epsilon(p) = - 1$ implica que los ingresos no pueden aumentar con pequeños cambios (marginales) en $p$ . Hasta ahora he utilizado el concepto de elasticidad puntual. Pero su libro de texto utiliza la elasticidad de arco, que mide los cambios no marginales: $$ \frac{\Delta Q}{Q} / \frac{\Delta p}{p} $$ Algunas razones para hacerlo:

1. La elasticidad del arco puede medirse empíricamente, la elasticidad del punto sólo puede aproximarse.
2. En caso de pequeños cambios, los dos deberían estar razonablemente cerca.
3. La elasticidad puntual requiere algunos conocimientos de cálculo.

Sin embargo, también hay algunos problemas con esto:

1. No se hacen garantes por el $\epsilon(p) = - 1$ condición para los cambios de precios no marginales.
2. La base que debes utilizar para la elasticidad del arco no está nada clara. Usted utilizó $$ \frac{Q_{new} - Q_{old}}{Q_{old}} \cdot \frac{p_{old}}{p_{new} - p_{old}}. $$ ¿Por qué la cantidad y el precio antiguos son la referencia para el tipo de cambio? ¿Por qué no son la cantidad y el precio nuevos? $$ \frac{Q_{new} - Q_{old}}{Q_{new}} \cdot \frac{p_{new}}{p_{new} - p_{old}} $$ o la media de los dos $$ \frac{Q_{new} - Q_{old}}{\frac{Q_{new} + Q_{old}}{2}} \cdot \frac{\frac{p_{new} + p_{old}}{2}}{p_{new} - p_{old}}? $$

Estas bases le dan diferentes valores de elasticidad del arco. La segunda base le da $1.2\dot{2}$ por lo que parece ser el que espera tu libro de texto. Supongo que lo mejor es que veas la diferencia entre la elasticidad puntual que utiliza la regla y la elasticidad del arco. Aparte de esto, tienes que preguntar a tu profesor qué definición de elasticidad espera que utilices.

Answer 2

La elasticidad puntual de una función con respecto a su argumento, es útil principalmente para caracterizar algún punto específico de interés, por ejemplo el punto de maximización de beneficios de un monopolista (donde aprendemos que la elasticidad puntual tiene que ser mayor que la unidad en términos absolutos, ver este puesto ).

Pero cuando se consideran los cambios discretos, la elasticidad puntual es, en el mejor de los casos, una aproximación, y de todos modos estamos en problemas, ya que el enfoque "intuitivo" de considerar la elasticidad como "cambio porcentual sobre cambio porcentual"

$$\varepsilon_{q,p} = \frac {\%\Delta q(p)}{\%\Delta p} = \frac {(q_1-q_0)/q_0}{(p_1-p_0)/p_0} \tag{1}$$

(y que es lo que intentó el OP), tiene el problema de no ser simétrico Si pensamos en pasar de $q_1$ a $q_0$ (en lugar de pasar de $q_0$ a $q_1$ ), obtendremos un valor diferente utilizando $(1)$ .

Por ello, el _elasticidad del arco_ que divide cada intervalo de cambio por su punto medio, en lugar de su límite:

$$\text {Arc} \;\varepsilon_{q,p}=\frac {\frac{(q_1-q_0)}{(q_1+q_0)/2}}{\frac{(p_1-p_0)}{(p_1+p_0/2}}$$

Ver este puesto también, sobre la elasticidad del Arco y sus propiedades.

Aplicando la elasticidad del Arco en el problema numérico específico, se obtiene efectivamente $1.22$ (en términos absolutos), que es la respuesta proporcionada.

Observe que esta medida también calcula correctamente la variación de los Ingresos totales. Utilizando el operador Diferencia $\Delta$ tenemos que

$$\Delta (pq) = \Delta p \cdot q + \Delta q \cdot p$$

$$\implies \frac {\Delta (pq)}{pq} = \frac {\Delta p}{p} + \frac {\Delta q}{q}$$

$$\implies \frac {\Delta (pq)}{pq} = \frac {\Delta p}{p} \cdot \Big [1+\frac {\Delta q/q}{\Delta p/p}\Big]$$

Utilizando los cálculos del punto medio asociados a la arco-elasticidad obtenemos para el ejemplo numérico concreto,

$$\frac {\Delta (pq)}{pq} = \frac {1}{5.5}\cdot [1-1.22] = -0.04$$

Y efectivamente,

$$\frac {120-125}{125} = \frac {5}{125} = -0.04$$