La optimización Markowitz de varianza-media como "maximización del error"

Question

Escucho decir mucho que la optimización MV estándar "maximiza los errores". Pero no puedo encontrar una buena explicación de lo que exactamente quieren decir con esta "maximización" del error de estimación.

Entiendo que si simulas $500$ matrices de rendimientos $T-t$ meses en el futuro desde $t$ (ahora) hasta $T$ (futuro), y haces la optimización MV en cada matriz en $T$ para llegar a $500$ fronteras, entonces estas diferirán enormemente de la optimización MV en $t$. (Figura 1 aquí). Pero, ¿qué significa esto?

Answer 1

Creo que la referencia original de las carteras de varianza-media como "carteras que maximizan el error" es:

Michaud, R. (1989). "El enigma de la optimización de Markowitz: ¿Es la optimización óptima?" Financial Analysts Journal 45(1), 31–42.

La razón es que incluso pequeños cambios en las medias estimadas pueden resultar en grandes cambios en toda la estructura de la cartera.

Echa un vistazo a esta nueva pieza de Andrew Ang que explica esto bastante bien ("4.1 Sensibilidad a los Inputs", p. 26-27):

Inversión de Varianza-Media por Andrew Ang

EDICIÓN
Para una perspectiva diferente, consulta este documento de
Mark Kritzman (2006): ¿Son los Optimizadores Maximizadores del Error? ¿Hype versus realidad?

Del resumen:

Pequeños errores en los inputs a optimizadores de varianza-media a menudo llevan a grandes malas asignaciones de cartera cuando los activos son sustitutos cercanos el uno del otro. De hecho, cuando los activos son sustitutos cercanos, la distribución de rendimiento de la cartera óptima supuestamente es similar a la distribución de la cartera óptima real. Contrariamente a sabiduría convencional, por lo tanto, los optimizadores de varianza-media suelen resultar ser resistentes a pequeños errores de input cuando se mide adecuadamente la sensibilidad.

Una versión gratuita se puede encontrar en las páginas 165-168: Aquí.

EDICIÓN 2
Un buen resumen de esta línea de razonamiento se puede encontrar en
Mark Kritzman (2014): Seis comentarios prácticos sobre la asignación de activos:

El Mito del Error de Estimación:
Los cínicos a menudo se refieren a los optimizadores de varianza-media como maximizadores de error porque creen que pequeños errores en los inputs llevan a grandes errores en los outputs. Este cinismo surge de un malentendido de la sensibilidad a los inputs. Considera la optimización entre activos que tienen retornos esperados y riesgo similares. Errores en las estimaciones de estos valores pueden distorsionar sustancialmente las asignaciones óptimas. A pesar de estas malas asignaciones, sin embargo, las distribuciones de rendimiento de la cartera correcta e incorrecta probablemente sean bastante similares. Por lo tanto, los errores no importan debido a que la cartera incorrecta resultante es casi tan buena como la cartera correcta.
Ahora considera la optimización entre activos que tienen retornos esperados y riesgo significativamente diferentes. Errores en estas estimaciones tendrán poco impacto en las asignaciones óptimas; por lo tanto, nuevamente las distribuciones de rendimiento de las carteras correcta e incorrecta no diferirán mucho. Puede haber algunos casos en los que pequeños errores en los inputs importan, pero en la mayoría de los casos la sensibilidad al error de estimación es más Hype que realidad [...]

(Desafortunadamente no he encontrado una versión gratuita del paper - si encuentras una házmelo saber en los comentarios y actualizaré la publicación).

Answer 2

Uno de los ejemplos empíricos más destacados de "maximización del error" lo proporcionan Chopra y Ziemba (1993):

Chopra, Vijay K., y William T. Ziemba. 1993. "El efecto de los errores en medias, varianzas y covarianzas en la elección de cartera óptima." Journal of Portfolio Management, vol. 19, no. 2 (invierno): 6-11.

Los autores comparan el rendimiento de la optimización de media-varianza utilizando (a) datos históricos y estimadores de muestra tradicionales en contra de una cartera formada con (b) información perfecta del futuro. Los autores encuentran después de comparar el rendimiento de (a) frente a la cartera de clarividencia (b),

1. Usar retornos históricos para estimar la matriz de covarianza es suficiente.
2. Usar retornos históricos para estimar el retorno medio incurre en una desviación masiva en el rendimiento.

Por lo tanto, usar un estimador de contracción, o simplemente establecer todos los retornos iguales a una constante $\hat{\mu}_i = c$ $\forall i$ (equivalente a la cartera de varianza mínima), es una alternativa superior.

Answer 3

Que $\mu$ y $\Sigma$ sean las matrices de media y covarianza esperadas para una optimización de media-varianza. Para una optimización estándar, sin restricciones y basada en la utilidad, se puede demostrar que los pesos óptimos serán iguales a $$ w=\frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}\mu $$ donde $\lambda$ es un coeficiente de aversión al riesgo arbitrario.

Para medir la sensibilidad de los pesos al rendimiento esperado, se podría calcular $$\frac{\partial w}{\partial\mu}=\frac{1}{\lambda}\Sigma^{-1}$$

Debido a la naturaleza de la inversa de la matriz de covarianza, esta fórmula sugiere que cambios arbitrarios en $\mu$ tienden a llevar a cambios grandes en los pesos de la cartera.

Answer 4

Para los futuros lectores de esta pregunta. Una explicación concisa y clara se da en realidad por Brandt (2010), quien de hecho se refiere a Michaud (1989), quien mencionó por primera vez el término "maximización del error". La siguiente sección es de Brandt (2010, p.300):

Michaud (1989) argumenta que los pesos de cartera extremos e inestables son inherentes a los optimizadores de media-varianza porque tienden a asignar grandes pesos positivos (negativos) a los valores con grandes errores de estimación positivos (negativos) en la prima de riesgo y/o grandes errores de estimación negativos (positivos) en la volatilidad. Por lo tanto, los optimizadores de media-varianza actúan como "maximizadores de error" estadísticos.

La diferencia a la que te refieres se origina en el error de estimación en tu matriz de volatilidad. Este error se suma en horizontes temporales más largos, por lo tanto, la diferencia será mayor para horizontes de inversión más largos.