¿Cómo aproximar la fórmula de descomposición de Carr-Madan?

Question

Me he encontrado con el excelente responder .

Estoy buscando una aproximación dicreta a la Fórmula de descomposición de Carr-Madan de la función $f(F_T)$ del precio final de los futuros tomando una posición estática en el momento $t=0$ en las opciones:

$$f(F_T)=f(\kappa) + f'(\kappa) [(F_T - \kappa)^+ - (\kappa - F_T)^+] + \int_0^{\kappa} f''(K) (K-F_T)^+ \ d K + \int_{\kappa}^{\infty} f''(K) (F_T-K)^+ \ d K.$$ El primer término puede interpretarse como el beneficio de una posición estática en $f(\kappa)$ bonos de descuento puro, cada uno de los cuales paga un dólar a $T$ . El segundo término puede interpretarse como el beneficio de $f'(\kappa)$ llamadas golpeadas en $\kappa$ menos $f'(\kappa)$ pone, también golpeado en $\kappa$ . El tercer término surge de una posición estática en $f''(K)dK$ pone en todas las huelgas menos de $\kappa$ . Del mismo modo, el cuarto término surge de una posición estática en $f''(K)dK$ llamadas en todas las huelgas mayores que $\kappa$ .

Mi intuición es aproximar la fórmula integral mediante una suma ponderada de los precios de las opciones de venta y de compra sobre el mismo activo subyacente. El objetivo de la aproximación es la realización de la cartera de opciones.

Digamos que en el momento $t=0$ se puede tomar una posición estática (comprar y mantener), y la cartera de la opción incluye $x_i^c$ , $x_i^p$ unidades de opciones europeas de compra y venta europeas, $x_i^c, x_i^p>0$ para comprar, $x_i^c, x_i^p<0$ para vender, si $x_i^c$ o $x_i^p$ igual a $0$ su significa que el contrato no no incluye en la cartera, $k^i_c$ , $k^i_p$ son los correspondientes strikes de compra y de venta, $i=1,2, \ldots, n$ , $S_t$ es el precio del activo subyacente en el momento del calendario, $0 \le t \le T$ . Entonces el segundo término en el tiempo $t=0$ puede aproximarse mediante la fórmula

$$f'(\kappa) [(F_T - \kappa)^+ - (\kappa - F_T)^+]\approx \sum_{i=1}^{n} x_i^c (S_t - k_c^i)^{+} + x_i^p (k_p^i - S_t)^{+},$$ el primer término es el valor del pago de la opción de compra y el segundo es el valor del pago de la opción de venta, $X^+=\max(X, 0)$ .

Mi pregunta es: Si mi intuición es correcta cómo especificar el número $n$ ?

Actualización. Cómo calcular VIX

Cómo estar con el primer término $f(\kappa)$ y el tercer término $\int_0^{\kappa} f''(K) (K-F_T)^+ \ d K$ y el cuarto término $\int_{\kappa}^{\infty} f''(K) (F_T-K)^+ \ d K$ ?

Answer 1

La fórmula Carr-Madan te dice que el pago a la europea $f(F_T)$ puede descomponerse como: $$f(F_T)=f(\kappa) + f'(\kappa) [(F_T - \kappa)^+ - (\kappa - F_T)^+] + \int_0^{\kappa} f''(K) (K-F_T)^+ \ d K + \int_{\kappa}^{\infty} f''(K) (F_T-K)^+ \ d K$$ para cualquier $\kappa$ de su elección.

Asumiendo tipos deterministas w.l.o.g. así como un mercado completo, por ausencia de oportunidad de arbitraje, para generar el pago en el RHS en $t=T$ se pueden introducir las siguientes posiciones (estáticas) hoy, en $t=0$ :

$$ \underbrace{\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ e^{-rT} f(\kappa)\right]}_{(1)} + \underbrace{\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ e^{-rT} f'(\kappa) [(F_T - \kappa)^+ - (\kappa - F_T)^+]\right]}_{(2)} + \underbrace{\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ e^{-rT} \int_0^{\kappa} f''(K) (K-F_T)^+ \ d K\right]}_{(3)} + \underbrace{\Bbb{E}_0^\Bbb{Q}\left[ e^{-rT} \int_{\kappa}^{\infty} f''(K) (F_T-K)^+ \ d K\right]}_{(4)} $$

donde por definición: $$ (1) = f(\kappa) B(0,T), \quad (2) = f'(\kappa) (C(\kappa,T)-P(\kappa,T)) $$ $$ (3) = \int_0^\kappa f''(K) P(K,T) dK,\quad (4) = \int_\kappa^\infty f''(K) C(K,T) dK $$

$(1)$ equivale a ir en largo $f(\kappa)$ bonos de cupón cero $B(0,T)$ , mientras que $(2)$ corresponde a ser largo $f'(\kappa)$ Convocatorias europeas escritas sobre el futuro y el corto $f'(\kappa)$ Puestos europeos. Términos $(3)$ y $(4)$ son más complicados ya que, de por sí, requieren tomar posiciones en un número infinito de contratos, lo cual no es práctico.

Por tanto, como sugieres, podríamos aproximar las integrales mediante sumas finitas, véase el cálculo del índice VIX, por ejemplo. En ese caso $(3)$ (el razonamiento para $(4)$ es casi idéntico) se convertiría: $$ \int_0^\kappa f''(K) P(K,T) dK = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N-1} (f''(K_i) P(K_i,T) + f''(K_{i+1}) P(K_{i+1},T)) (K_{i+1}-K_i) $$ donde hemos utilizado la regla trapezoidal junto con ${\bf{K}}=\{ K_i \}_{i=1}^N$ una partición del intervalo $[0,\kappa]$ (también se podría hacer una simple suma de Riemann, la idea es la misma), lo que significa que $(3)$ corresponde al ser:

• Largo $\frac{1}{2}f''(K_i)(K_{i+1}-K_i)$ pone $P(K_i,T),\quad i=1,...,N-1$
• Largo $\frac{1}{2}f''(K_{i+1})(K_{i+1}-K_i)$ pone $P(K_{i+1},T),\quad i=1,...,N-1$

La parte complicada en la práctica es realmente el número finito de opciones que realmente se negocian, lo que significa que puede no tener la granularidad adecuada para aproximar decentemente las integrales en la fórmula de Carr-Madan (error de discretización + error de truncamiento).