Opción de compra ZCB analítica bajo Vasicek

Question

La opción de compra con strike $X$ y la madurez $T$ en un ZCB con vencimiento en el tiempo $S$ , donde $T\le S$ es $$ZBO(t,T,S,X)=E_t[e^{-\int_t^Tr_sds}(P(T,S)-X)^+]$$ El precio del ZCB se denomina $$P(t,T)=E_t[e^{-\int_t^Tr_sds}]$$ Estoy familiarizado con la metodología Black-Scholes para derivar el precio de la opción de compra a partir de los primeros principios, y estoy interesado en aplicar la metodología aquí para calcular el precio de la opción del bono. El modelo Vasicek permite calcular el precio del bono de forma analítica. La SDE para el tipo corto es $$dr_t=k(\theta-r_t)dt+\sigma dW_t$$ y se puede demostrar que el precio del bono es $$P(t,T)=A(t,T)e^{-B(t,T)r_t}$$ donde $$B(t,T)=\frac{1}{k}(1-e^{-k(T-t)})$$ y $$A(t,T)=\exp{\bigg[\Big(\theta-\frac{\sigma^2}{2k^2}\Big)[B(t,T)-T+t]-\frac{\sigma^2}{4k}B(t,T)^2}\bigg]$$ Mis pasos iniciales son expresar $ZBO(t,T,S,X)$ en términos de funciones indicadoras, como sigue \begin{align} ZBO(t,T,S,X)&=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}(P(T,S)-X)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)\\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}P(T,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)\\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}E_t[e^{-\int_T^Sr_sds}]\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)\\ &=E_t\Big(e^{-\int_t^Sr_sds}\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(e^{-\int_t^Tr_sds}\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)\\ &=E_t\Big(P(t,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(t,T)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)\\ \end{align} Los principales problemas son que he asumido $e^{-\int_t^Tr_sds}E_t[e^{-\int_T^Sr_sds}]=e^{-\int_t^Sr_sds}$ y que $P(t,T)$ parece ser una variable aleatoria, aunque es una $\mathbb{Q}$ expectativa y, por tanto, una constante. Además, la metodología Black-Scholes sólo puede aplicarse después de cambiar los numerales. Si existe una derivada de Radon-Nikodym que puede hacer lo siguiente $$E_t\Big(P(t,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(t,T)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)=E_t\Big(P(T,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)-XE_t\Big(P(T,S)\mathbb{1}_{P(T,S)>K}\Big)$$ entonces se puede encontrar fácilmente el precio del bono.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Sugerencia

Nota $$X=(P(T,S)-K)^+=(P(T,S)-K)1_{P(T,S)>K}\tag 1$$ Sabemos que $$V(t,T,S,K)=\mathbb{E^Q}_t\left[\frac{B(t)}{B(T)}X\right]\tag 2$$ $(1)$ y $(2)$ tenemos $$V(t,T,S,K)=\underbrace{\mathbb{E}^Q_t\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1_{P(T,S)>K}\right]}_{I}-K\,\underbrace{\mathbb{E}_t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}1_{P(T,S)>K}\right]}_{J}\tag 3$$ Ahora debemos calcular $I$ y $J$ . Mediante la aplicación de Fórmula de Bayes tenemos $$\mathbb{E}_t^{Q_S}\left[1_{P(T,S)>K}\right]=\frac{\mathbb{E}_t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1_{P(T,S)>K}\right]}{P(t,S)}$$ así $$I=\mathbb{E}_t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}P(T,S)1_{P(T,S)>K}\right]=P(t,S)\mathbb{E}_t^{Q_S}\left[1_{P(T,S)>K}\right]\tag 4$$ por otro lado $$\mathbb{E}_t^{Q_S}\left[1_{P(T,S)>K}\right]=Q_{S}\left(P(T,S)>K\Big{|}\,\mathcal{F}_t\right)\tag 5$$ $(4)$ y $(5)$ $$I=P(t,S)Q_{S}\left(P(T,S)>K\Big{|}\,\mathcal{F}_t\right)\tag 6$$ Del mismo modo, tenemos $$\mathbb{E}_t^{Q_T}\left[1_{P(T,S)>K}\right]=\frac{\mathbb{E}_t^Q\left[\frac{P(T,T)}{B(T)P(0,T)}1_{P(T,S)>K}\right]}{\frac{P(t,T)}{B(t)P(0,T)}}=\frac{\mathbb{E}_t^Q\left[\frac{B(t)}{B(T)}1_{P(T,S)>K}\right]}{P(t,T)}$$ por lo tanto $$J=P(t,T)\mathbb{E}_t^{Q_T}\left[1_{P(T,S)>K}\right]=P(t,T)\,Q_{T}\left(P(T,S)>K\Big{|}\,\mathcal{F}_t\right)\tag 7$$ $(3)$ , $(6)$ y $(7)$ $$V(t,T,S,K)=P(t,S)Q_{S}\left(P(T,S)>K\Big{|}\,\mathcal{F}_t\right)-KP(t,T)\,Q_{T}\left(P(T,S)>K\Big{|}\,\mathcal{F}_t\right)$$ Nota

• $B(t)$ es la cuenta de dinero.
• $Q_T$ y $Q_S$ son medidas a futuro.